Codeforces 1264D - Beautiful Bracket Sequence（组合数学）

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首先对于这样的题目，我们应先考虑如何计算一个括号序列 \(s\) 的权值。一件非常显然的事情是，在深度最深的、是原括号序列的子序列的括号序列中，必定存在一个满足前面只由一段左括号，后面只由一段右括号组成，因此我们考虑枚举这中间位置在原括号序列中对应哪个位置，那么假设这个断点位于 \(i\) 和 \(i+1\) 之间，我们设 \(i\) 及之前有 \(x\) 个左括号，\(i+1\) 及之后有 \(y\)​​ 个右括号，那么显然以这个位置为端点的括号序列的深度就是 \(\min(x,y)\)，注意到这里涉及一个 \(\min\)，一脸不好直接维护的样子，不过注意一件事情，那就是你这个 \(i\) 每往后移一格，\(x-y\) 就会恰好增加 \(1\)​，也就是说必然恰好存在一个断点满足 \(x=y\)，在此之前，\(x<y\)​，因此 \(\min(x,y)=x\)，在此之后，\(x>y\)，因此 \(\min(x,y)=y\)，又因为 \(x\) 随 \(i\) 的增大单调不增，\(y\)​ 随 \(i\) 的增大单调不降，因此在这个断点前必然有 \(\min(x,y)<\) 断点处的 \(x\)，在这个断点之后必然有 \(\min(x,y)>\) 断点处的 \(x\)，因此这个断点处的 \(x\)​​ 就是该括号序列所有由一段左括号+一段右括号组成的合法括号序列中，深度最大的那一个，也就是说：

Conclusion. 一个括号序列的权值，等于其所有相邻位置 \(i,i+1\) 中，满足 \(i\) 及之前左括号个数等于 \(i+1\) 之后的右括号个数的 \(i\) 之前的左括号个数。

接下来此题就变成一个组合数学问题了，考虑枚举这个断点 \(i\)，假设 \(i\) 前面问号个数为 \(a\)，左括号个数为 \(b\)，\(i+1\) 后面问号个数为 \(c\)，右括号个数为 \(d\)，那么这个点的贡献为：

\[\sum\limits_{i=0}^a(i+b)\dbinom{a}{i}\dbinom{c}{i+b-d} \]

然后括号拆拆，组合恒等式推推：

\[\begin{aligned} &\sum\limits_{i=0}^a(i+b)\dbinom{a}{i}\dbinom{c}{i+b-d}\\ =&\sum\limits_{i=0}^ai\dbinom{a}{i}\dbinom{c}{i+b-d}+b\sum\limits_{i=0}^a\dbinom{a}{i}\dbinom{c}{i+b-d}\\ =&\sum\limits_{i=0}^aa\dbinom{a-1}{i-1}\dbinom{c}{i+b-d}+b\sum\limits_{i=0}^a\dbinom{a}{i}\dbinom{c}{i+b-d}\\ =&a\sum\limits_{i=0}^a\dbinom{a-1}{a-i}\dbinom{c}{i+b-d}+b\sum\limits_{i=0}^a\dbinom{a}{a-i}\dbinom{c}{i+b-d}\\ =&a\dbinom{a-1+c}{a+b-d}+b\dbinom{a+c}{a+b-d} \end{aligned} \]

预处理一下简单算算即可。

const int MAXN=1e6;
const int MOD=998244353;
char s[MAXN+5];int n;
int fac[MAXN*2+5],ifac[MAXN*2+5];
void init_fac(int n){
	for(int i=(fac[0]=ifac[0]=ifac[1]=1)+1;i<=n;i++) ifac[i]=1ll*ifac[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%MOD,ifac[i]=1ll*ifac[i]*ifac[i-1]%MOD;
}
int binom(int x,int y){
	if(x<0||y<0||x<y) return 0;
	return 1ll*fac[x]*ifac[y]%MOD*ifac[x-y]%MOD;
}
int main(){
	scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);init_fac(MAXN+5);int s1=0,s2=0,ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) s1+=(s[i]==')'),s2+=(s[i]=='?');
	for(int i=1,x=0,l=0,c=0;i<=n;i++){
		x+=(s[i]=='?');l+=(s[i]=='(');c+=(s[i]==')');int y=s2-x,r=s1-c;
		ans=(ans+1ll*l*binom(x+y,y+r-l)+1ll*x*binom(y+x-1,y-l+r-1))%MOD;
	} printf("%d\n",ans);
	return 0;
}