CF536C-Tavas and Pashmaks【凸壳】

正题

题目链接:https://codeforces.com/contest/536/problem/C

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题目大意

\(n\)个人，第\(i\)个人的游泳速度\(s_i\)，跑步速度是\(r_i\)。如果跑道长度是\(R\)，泳道长度是\(S\)那么一个人的用时就是\(\frac{R}{r_i}+\frac{S}{s_i}\)，在\(R/S\)不定的情况下然后求出所有可能是用时最短的人。

\(1\leq n\leq 10^5,1\leq s_i,r_i\leq 10^4\)

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解题思路

设\(k=\frac{R}{S}\)，那么用时可以化为\(\frac{k}{r_i}+\frac{1}{s_i}\)。

然后对于一个点\((-\frac{1}{r_i},\frac{1}{s_i})\)，我们可以视为用一条斜率为\(k\)的斜线去截这些点然后让截距最小。

直接维护一个凸壳就好了，然后注意因为\(R/S\)都是正数所以\(k\)也得是正数，所以要把后段丢掉。

时间复杂度：\(O(n\log n)\)

当然还有一个更神奇的做法，因为对于一个\(s_i\)我们只需要最大的\(r_i\)所以有用的点数不超过\(10^4\)，可以直接平方暴算。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
const double eps=1e-8;
struct node{
	double x,y;int id;
}q[N];
int n,top,s[N],ans[N],l[N];
bool cmp(node x,node y)
{return (x.x==y.x)?(x.y>y.y):(x.x<y.x);}
double slope(node a,node b)
{return (b.y-a.y)/(b.x-a.x);}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		double x,y;q[i].id=i;
		scanf("%lf%lf",&x,&y);
		q[i].x=1e5/x;q[i].y=1e5/y;
	}
	sort(q+1,q+1+n,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(q[i].x==q[i-1].x&&q[i].y==q[i-1].y)l[i]=l[i-1];
		else l[i]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(q[i].x==q[i+1].x)continue;
		while(top>1&&slope(q[s[top-1]],q[s[top]])-eps>slope(q[s[top-1]],q[i]))top--;
		s[++top]=i;
	}
	for(int i=1;i<=top;i++){
		for(int j=l[s[i]];j<=s[i];j++)
		ans[q[j].id]=1;
		if(q[s[i]].y<=q[s[i+1]].y)break;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(ans[i])printf("%d ",i);
	return 0;
}