数据结构红黑树三

删除操作

我们按照被删除的节点的子节点个数，分以下三种情况来讨论：

被删除节点没有孩子。只需要修改其父节点，用NIL去替换自己。
被删除节点有一个孩子。也只需要修改其父节点，用这个孩子去替换自己。
被删除节点有两个孩子。那么先找z的后继y（一定在z的右子树中），并让y占据树中z的位置。z的原来的右子树部分称为y的新的右子树，并且z的左子树成为y的左子树。

前两种情况比较简单，至于第三种情况，我们还可以细分：

a.如果z的后继y就是z的右孩子（即y没有左孩子），直接用y代替z，并保留y的右子树，如下图所示：

b.如果z的后继y不是z的右孩子，先用y的右孩子替换y，再用y替换z。如下图所示：

算法描述

// 替换
RB_TRANSPLANT(T, u, v)
    if u.p == T.nil             // u是根节点
        T.root = v
    elseif u == u.p.left        // u是左孩子
        u.p.left = v
    else                        // u是右孩子
        u.p.right = v
    v.p = u.p                   // 更新父节点

备注:强调该替换算法只处理v的父节点，并没有考虑u,v子节点的情况,u,v子节点都需要自行处理


// 查找最小元素
TREE_MINIMUN(X)
    while x.left != T.nil
        x = x.left
    return x
    
// 查找最大元素
TREE_MAXIMUN(X)
    while x.right != T.nil
        x = x.right
    return x
    
    
    
// 删除
RB_DELETE(T, z)
    y = z
    y-original-color = y.color
    if z.left == T.nil                       // 删除节点z没有左孩子，直接用右孩子来替换自己(真.删除)
        x = z.right                          // ①
        RB_TRANSPLANT(T, z, z.right)
    elseif z.right == T.nil                  // 删除节点z没有右孩子，直接用左孩子来替换自己(真.删除)
        x = z.left
        RB_TRANSPLANT(T, z, z.left)
    else                                     // 删除节点z存在左孩子和右孩子
        y = TREE_MINIMUN(z.right)            // y赋值为删除节点z右子树最小节点(此时的y绝对没有左孩子)
        y-original-color = y.color           // 
        x = y.right                          // 
        if y.p != z                          // 右子树最小节点y不是z的孩子
            RB_TRANSPLANT(T, y, y.right)     // 用y的右孩子替换y本身(因为y会被用来替换z,相当于y也被删除了,需要处理原来y原来的一些孩子关系)(真.删除)
        else
            // 说明删除节点z的后继y就是z的右孩子，此时可以保持y的孩子节点,无需变动
        RB_TRANSPLANT(T, z, y)               // 用y替换掉z节点(y的孩子关系已经处理完成了)
        y.right = z.right                    // 处理删除节点z的右孩子关系
        y.right.p = y
        y.left = z.left                      // 处理删除节点z的右孩子关系
        y.left.p = y
        y.color = z.color                    // 着色新结点的颜色(假.删除，本质是替换，因此不会影响被替换节点的红黑性质)
    if y-original-color == BLACK             // 删除红色节点不会破坏红黑树的特性 ②
        RB_DELETE_FINXUP(T, x)               // 删除再平衡

备注:

① x表示的是发生了移动的节点，可能会破坏红黑树的性质

② y-original-color是记录被删除节点的颜色，如果颜色是红色，那么其子节点一定是黑色（被删除的节点都是被自己的子节点所取代），连续2个黑色并不违背红黑树的性质。如果颜色是黑色，那么子节点的颜色可能是红色，被删除节点的父节点也可能是红色，此时就会破坏红黑树的性质

③ 真删除表示节点被真实删除了，新替补上来的节点的颜色并没有被修改，假删除，替换的节点孩子关系被替换，并且颜色也被替换，对原节点亲属关系几乎没有改变

删除再平衡平衡算法描述

// 删除再平衡(心里默念x是双色)
RB_DELETE_FINXUP(T, x)
    while x != T.root and x.color == BLACK                                 // 关于x.color == RED情况说明见①
        if x == x.p.left                                                   // x是父节点左孩子
            w = x.p.right                                                  // w是父节点右孩子
            if w.color == RED                                              // 兄弟节点颜色是红色，说明父节点必须是黑色
                w.color = BLACK                                            // case1          
                x.p.color = RED                                            // case1
                LEFT_ROTATE(T, x.p)                                        // case1 注意此时x.p的右孩子已经更新
                w = x.p.right                                              // case1 w指向原先自己的左孩子
            if w.left.color == BLACK and w.right.color == BLACK            // w的孩子节点都是黑色 
                w.color = RED                                              // case2 修改w节点的颜色为红色
                x = x.p                                                    // case2 x指向其父节点
            elseif w.right.color == BLACK                                  // w的左孩子是红色，右孩子是黑色
                w.left.color == BLACK                                      // case3
                w.color = RED                                              // case3
                RIGHT_ROTATE(T, w)                                         // case3
                w = x.p.right                                              // case3 w指向原先自己的左孩子
            else
                w.color = x.p.color                                        // case4 w着色为父节点的颜色
                x.p.color = BLACK                                          // case4 设置x父节点为黑色
                w.right.color = BLACK                                      // case4 设置w右孩子的颜色为黑色
                LEFT_ROTATE(T, x.p)                                        // case4 左旋x的父节点
                x = T.root                                                 // case4
        else
            // same 
    x.color = BLACK                                                       // 如果x.color==RED 直接将x的颜色着色为BLACK

备注：

①:为啥不考虑x是红色的情况？

假设被真.删除的节点z是黑色（除非真.删除是根结点外）都将导致原先包含z结点的简单路径上的黑结点数少1，将违背性质3。修正这一问题的方式是我们将现在占据z结点位置的x结点"再涂上一层黑色"(②)，当然，涂色操作并不反映在代码上，即我们不会修改x的color属性，我们只是"在心中记住"，适当的时候会把x的这层黑色涂到某个红色结点上以达到目的。"涂了两层色"的x结点可能是双层黑色或红黑色，它们分别会"贡献"2或1个黑色结点数。

② 这句话很难理解，意思是现在黑高肯定少了1，那么就需要增加一个黑色节点，既然是x替换了被删除的节点，那么这个黑色就被着色在x上，这样x会有两种颜色(一种他本身自带的颜色，一种黑色，黑色是被删除节点赋予x的)，这样可以保证原先包含z结点的简单路径黑高保持不变。

③ 关于当一条路径上一个节点被删除，导致高度下降问题分析

红黑树的高度是以黑高来确认的，我承认事实上树高下降了，但是通过着色黑高并没有下降，黑高的不下降对于未来的插入操作将会变得简单，这也可以说明红黑树并非完全平衡。

④ RB_DELETE-FIXUP修正的目的就是要x路径上黑高+1(因为真删除黑色节点会导致黑高-1)

分析RB_DELETE-FIXUP修正过程

Case 1：x的右兄弟w是红色，说明x的父结点一定是黑色。

所作的操作是：交换w和其父结点的颜色，即把w换为黑色，其父结点换位红色；然后对父结点左旋，w重新指向x的右兄弟（该结点原本是w的左孩子，所以一定为黑色），黑高保持不变。

有什么影响：将x的兄弟节点变成黑色

Case 2：x的兄弟节点w是黑色的，并且w的两个子节点也是黑色的。

所作的操作是：将w换为红色，x指向其父结点，w路径上黑高-1。

有什么影响：将x本身的黑色着色给父节点来实现x路径上黑高+1，并且w路径黑高+1这个目的，这个目的的实现与父节点的颜色密切相关，父节点是红色，那么会退出循环(循环体外实现给父节点着色为黑色的功能)，父节点着色黑色实现了黑高+1这个目的，如果父节点为黑色，那么只能x上跳一级继续循环，期待后面可以实现黑高+1这个目的

Case 3：x的兄弟节点w是黑色的，并且w的左孩子为红色，右孩子为黑色。

所作的操作是：着色w的左孩子为黑色，着色w本身为红色，对w进行右旋操作，黑高保持不变。

有什么影响：case3是将w的右孩子变成红色，目的是为了构造case4

Case 4：x的兄弟节点w是黑色的，并且w的右孩子为红色，左孩子颜色任意。

所作的操作是：w着色为父节点的颜色，设置x父节点为黑色，设置w右孩子的颜色为黑色，左旋x的父节点，退出循环。

有什么影响：case4实现了x路径上黑高+1

case说明:

1.case2,case3,case4的w节点一定是黑色，因为case1可以确保这一点

2.观察所有case，发现只有case2和case4可以实现x路径黑高+1这个目的

详细分析流程如下图

/**********case1+case2*******************/

/*********case1+case3+case4************************/

/***********case2***************************/

/*******case2*********************/

原文地址：https://www.cnblogs.com/zhanggaofeng/p/14691562.html

数据结构 红黑树三

数据结构红黑树三