卷积形式dp的多项式求逆做法

时间:2020-09-16
本文章向大家介绍卷积形式dp的多项式求逆做法,主要包括卷积形式dp的多项式求逆做法使用实例、应用技巧、基本知识点总结和需要注意事项,具有一定的参考价值,需要的朋友可以参考一下。

https://www.luogu.com.cn/problem/P4721

很多题的dp方程写出来后是这种形式

这种东西当然可以cdq分治FFT解决

但实际上做一些推导就可以只利用多项式求逆解决

这个递推式可以这么来看

fn表示 用一些长度为1...n-1的长条 来组成 一个长度为n的长条一共有多少种方案

其中长度为i的长条有gi种

把F和G写成母函数后

比较显然的是 F=1+G1+G2+G^3+....... = 1/(1-G)

多项式求逆即可

#include<bits/stdc++.h>
#define N 440000
#define eps 1e-7
#define inf 1e9+7
#define db double
#define ll long long
#define ldb long double
#define ull unsigned long long
using namespace std;
inline int read()
{
	char ch=0;
	int x=0,flag=1;
	while(!isdigit(ch)){ch=getchar();if(ch=='-')flag=-1;}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();}
	return x*flag;
}
const int h=3,mo=998244353;
int ksm(int x,int k)
{
	int ans=1;
	while(k){if(k&1)ans=1ll*ans*x%mo;k>>=1;x=1ll*x*x%mo;}
	return ans;
}
int inv(int x){return ksm((x%mo+mo)%mo,mo-2);}
int rev[N];
void ntt(int *f,int n,int flag)
{
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)+(i&1)*(n>>1);
		if(i<rev[i])swap(f[i],f[rev[i]]);
	}
	for(int k=2,kk=1;k<=n;k<<=1,kk<<=1)
	{
		int wn=ksm(h,(mo-1)/k);
		if(flag==-1)wn=inv(wn);
		for(int i=0;i<n;i+=k)
		for(int j=0,w=1;j<kk;j++,w=1ll*w*wn%mo)
		{
			int t=1ll*w*f[i+j+kk]%mo;
			f[i+j+kk]=(f[i+j]-t)%mo;
			f[i+j]=(f[i+j]+t)%mo;
		}
	}
	if(flag==-1)
	{
		int k=inv(n);
		for(int i=0;i<n;i++)f[i]=(1ll*f[i]*k%mo+mo)%mo;
	}
}
int a[N],b[N];
void poly_ml(int n)
{
	ntt(a,n,+1);
	for(int i=0;i<n;i++)a[i]=1ll*a[i]*a[i]%mo;
	ntt(a,n,-1);
}
void poly_mul(int n)
{
	ntt(a,n,+1);ntt(b,n,+1);
	for(int i=0;i<n;i++)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mo;
	ntt(a,n,-1);
}
int v[N],fv[N];
void poly_inv(int m)
{
	int n=1;
	for(int i=0;i<2*m;i++)v[i]=0;
	while(n<2*m)
	{
		if(n==1){v[0]=inv(fv[0]);n<<=1;continue;}
		for(int i=0;i<n;i++)a[i]=v[i],a[i+n]=0;poly_ml(2*n);
		for(int i=0;i<n;i++)b[i]=fv[i],a[i+n]=b[i+n]=0;poly_mul(2*n);
		for(int i=0;i<n;i++)v[i]=(1ll*2*v[i]%mo-a[i])%mo,v[i+n]=0;
		n<<=1;
	}
}
int main()
{
	int n=read();
	for(int i=1;i<n;i++)fv[i]=((-read())%mo+mo)%mo;
	fv[0]=1;poly_inv(n);printf("1 "); 
	for(int i=1;i<n;i++)printf("%d ",(v[i]%mo+mo)%mo); 
	return 0;
}

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