polya定理

设有\(n\)个对象，\(G\)是这\(n\)个对象上的置换群，用\(m\)种颜色涂染着\(n\)个对象，每个对象涂一种颜色，问有多少种染色方案

\(G = {\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_k}\)，\(c(\sigma_i)\)为置换\(\sigma_i\)的循环节数

群

集合\(G\)和\(G\)上的二元运算，满足下列条件称为群：

• 封闭性
• 结合律
• 有单位元
• 有逆元

置换群

\([1,n]\)到自身\(1-1\)映射称为\(n\)阶置换。\([1,n]\)目标集上的置换表示为

即\(a_n\)是\([1,n]\)中元的一个排列

举个例子，这是个\(n = 5\)的5元置换，\(\sigma(1) = 3,\sigma(3) = 1\)，构成循环，\(\sigma(4) = 4\)，4的置换是本身，也是一个循环，所以也可以写成\(\sigma = (1,3)(4)(2,5)\)，一般一阶轮换(4)不写，\(\sigma = (1,3)(2.5)\)

正三角形


旋转0°：\(p1 = \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{array}\right) \end{array}\)

旋转120°：\(p2 = \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{array}\right) \end{array}\)

旋转240°：\(p3 = \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{array}\right) \end{array}\)

对称：\(p4 = \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{array}\right) \end{array}\)\(p5 = \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{array}\right) \end{array}\)\(p6 = \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{array}\right) \end{array}\)

正四边形

旋转0°：\(p1 = \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} 1&2&3 &4\\ 1&2&3&4 \end{array}\right) \end{array}\)

旋转90°：\(p2 = \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} 1&2&3&4\\ 4&1&2&3 \end{array}\right) \end{array}\)

旋转180°：\(p3 = \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} 1&2&3&4\\ 3&4&1&2 \end{array}\right) \end{array}\)

旋转270°：\(p4 = \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} 1&2&3&4\\ 2&3&4&1 \end{array}\right) \end{array}\)

对称：\(p5 = \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} 1&2&3&4\\ 1&4&3&2 \end{array}\right) \end{array}\)\(p6 = \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} 1&2&3&4\\ 3&2&1&4 \end{array}\right) \end{array}\)\(p7 = \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} 1&2&3&4\\ 2&1&4&3 \end{array}\right) \end{array}\)\(p8 = \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} 1&2&3&4\\ 4&3&2&1 \end{array}\right) \end{array}\)

旋转0°：\((1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)\)

旋转90°：\((1)(2\ 3\ 4\ 5)(6\ 7)(8\ 9\ 10\ 11)(12\ 13\ 14\ 15)(16)\)

旋转180°：\((1)(2\ 4)(3\ 5)(6)(7)(8\ 10)(9\ 11)(12\ 14)(13\ 15)(16)\)

旋转270°：\((1)(2\ 3\ 4\ 5)(6\ 7)(8\ 9\ 10\ 11)(12\ 13\ 14\ 15)(16)\)

\(l = \frac{16 + 2 + 4 + 2}{4} =\)

Bunruside引理

等价类

k阶不动置换类

\(G\)是\(1,2,\dots ,n\)的置换群，\(k\)是\(1\dots n\)中的某个元素，\(G\)中使\(k\)保持不变的置换的全体，极为\(Z_k\)

Polya置换

设\(N = {1,2,\dots, n}\)是被着色物体的集合，\(G = {\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_g}\)是\(N\)上的置换群，用\(m\)种颜色对\(N\)中的元素进行着色，则在\(G\)的作用下不同的着色方案数是

其中\(G = {\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_k}\)，\(c(\sigma_i)\)为置换\(\sigma_i\)的循环节数，即轮换个数，\(|G|\)表示置换种数

关键在于找到每个置换的循环节即可

对于这个置换

循环节是(1,3)(2,5)(4)，所以循环节长度是3

利用polya定理

1. 写出置换群
2. 求出每个置换的轮换个数
3. 带入公式求

写出有置换群

求出每个置换的轮换个数

\(c_1 = (1)(2)(3)(4)(5)(6)=6, \ c_2 = (1,2,3,4,5,6) = 1,c_3 = (1,3,5)(2,4,6) = 2,\\ c_4 = (1,4)(2,5)(3,6) = 3,c_5 = (1,3,5)(2,4,6) = 2,c_6 = (1,2,3,4,5) = 1\)

带入公式，用2种颜色去染色

\(M= \frac{2^6+2^1+2^2+2^3+2^2+2^1}{6} = 14\)

常见置换的轮换个数

旋转

n个点顺时针(或逆时针)旋转i个位置的置换，轮换个数是\(gcd(n,i)\)

假设旋转i个单位，使得与原来重合，设执行k次，那么一定满足\(i * k \mod n == 0\),那么解得最小\(k = \frac{lcm(i, n)}{i} = \frac{n}{gcd(n, i)}\)，所以\(\frac{n}{k} = gcd(n,i)\)

翻转

n为偶数且对称轴不过顶点，轮换个数为\(\frac{n}{2}\)

n为偶数且对称轴过顶点，轮换个数为\(\frac{n}{2} + 1\)

n为奇数，轮换个数为\(\frac{n + 1}{2}\)

模板

对于翻转，如果n为奇数，找个对称轴经过点，一共有n条对称轴，每条对称轴上有一个点，对称轴上的珠子构成了一个循环，其他\(n-1\)个珠子分别与对称轴对此构造成\(\frac{n - 1}{2}\)个循环，所以循环节个数是\(\frac{n - 1}{2} + 1 = \frac{n + 1}{2}\)

如果n是偶数，对称轴上有两个点，一个有\(\frac{n}{2}\)条，对称轴上的两个点构成两个循环，其他\(n - 2\)个点分别以对称轴对此构成\(\frac{n - 2}{2}\)个循环。还有一种情况，对此轴穿过两个点之间，这时其他点两两对称，构成\(\frac{n}{2}\)个对称

对称有n个置换，旋转有n个置换，总共2n个置换

时间复杂度\(O(nlogn)\)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define ll long long
int gcd(int a, int b){
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
ll pow(ll a, ll b){
    ll ans = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ans = ans * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    int n, m;
    while(~scanf("%d%d", &m, &n)){
        if(n == 0 && m == 0)break;
        ll ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            ans += pow(m, gcd(i, n));
        }
        if(n & 1){
            ans += pow(m, n / 2 + 1) * n;
        }else{
            ans += pow(m, n / 2 + 1) * (n / 2);
            ans += pow(m, n / 2) * (n / 2);
        }
        printf("%lld\n", ans / (2 * n));
    }
    return 0;
}

在旋转部分进行优化，\(\sum_{i = 1}^n n^{gcd(i,n)}\)

\(\sum_{d|n}n^d\times\sum_{k = 1}^{\frac{n}{d}}[gcd(k,\frac{n}{d}) == 1]\)

\(\sum_{d|n}n^d\varphi(\frac{n}{d})\)

时间复杂度\(O(n^{\frac{3}{4}})\)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std ;
const int mod = 1e9 + 7 ; 
ll pow(ll a, ll b, ll p){
    ll ans = 1; a %= p;
    while(b){
        if(b & 1) ans = ans * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
ll phi(ll n) {
    ll ans = n; 
    for(int i = 2; i * i <= n; ++ i ) {
        if(n % i == 0){
            ans -= ans / i;
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n > 1) ans -= ans / n ;
    return ans ; 
}
int main(){
    int T, n, cnt;
    scanf("%d", &T); 
    while( T-- ) {
        scanf("%d", &n);
        ll ans = 0; 
        for(int i = 1; i * i <= n; i++) {
            if(n % i) continue;
            ll p1 = phi(i), f1 = pow(n, n / i, mod); 
            f1 = f1 * p1 % mod; ans = (ans + f1) % mod;
            if(i * i != n) {
                ll p2 = phi(n / i), f2 = pow(n, i, mod) ;
                f2 = f2 * p2 % mod; ans = (ans + f2) % mod;
            }
        }
        printf("%lld\n", ans * pow(n, mod - 2, mod) % mod); 
    }
    return 0 ;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/Emcikem/p/13282509.html