最短路径——Floyd算法

时间:2020-06-30
本文章向大家介绍 最短路径——Floyd算法 ,主要包括 最短路径——Floyd算法 使用实例、应用技巧、基本知识点总结和需要注意事项,具有一定的参考价值,需要的朋友可以参考一下。

最短路径——Floyd算法

可以用来求带权图和无权图

Floyd算法:求出每一对顶点之间的最短路径

使用动态规划思想,将问题的求解分为多个阶段

第一个矩阵就是图的邻接矩阵

第二个矩阵表示两个顶点之间的中转点

遍历上一个阶段留下来的矩阵A,对于上一个矩阵A当中的每一个具体的元素我们都进行:

若 A^(k-1)[i] [j]>A^(k-1)[i] [k]+A^(k-1)[k] [j]

则 A^(k)[i] [j] = A^(k-1)[i] [k] + A^(k-1)[k] [j];

​ path^(k)[i] [j] = k

否则A^(k) 和 path^(k)保持原值

\[A^{(-1)}[2] [1]>A^{(-1)}[2] [0]+A^{(-1)}[0] [1]=11 \]

\[A^{(0)}[2] [1] = 11; \]

\[path^{(0)}[2] [1] = 0; \]

\[A^{(0)}[0] [2]>A^{(0)}[0] [1]+A^{(0)}[1] [2]=10 \]

\[A^{(1)}[0] [2] = 10; \]

\[path^{(1)}[0] [2] = 1; \]

\[A^{(1)}[1] [0]>A^{(1)}[1] [2]+A^{(1)}[2] [0]=9 \]

\[A^{(2)}[1] [0] = 9; \]

\[path^{(2)}[1] [0] = 2; \]

Floyd算法核心代码

//。。。。准备工作,初始化矩阵A和path
for(int k=0;k<n;k++){	//考虑以vk作为中转点
    for(int i=0;i<n;i++){	//遍历整个矩阵,i为行号,j为列号
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]){	//以vk作为中转点的路径更短
                A[i][j] = A[i][k]+A[k][j];	//更新最短路径长度
                path[i][j] = k;	//中转点
            }
        }
    }
}

Floyd算法实例

练习:floyd算法用于负权图

//。。。。准备工作,初始化矩阵A和path
for(int k=0;k<n;k++){	//考虑以vk作为中转点
    for(int i=0;i<n;i++){	//遍历整个矩阵,i为行号,j为列号
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]){	//以vk作为中转点的路径更短
                A[i][j] = A[i][k]+A[k][j];	//更新最短路径长度
                path[i][j] = k;	//中转点
            }
        }
    }
}

不能解决的问题

带有“负权值回路”的图

这种图可能没有最短路径

知识回顾

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