二项式定理与杨辉三角

时间:2020-04-26
本文章向大家介绍二项式定理与杨辉三角,主要包括二项式定理与杨辉三角使用实例、应用技巧、基本知识点总结和需要注意事项,具有一定的参考价值,需要的朋友可以参考一下。

问题:求(a+b)^n中各项的系数。

方法一:利用杨辉三角

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

(a+b)^1=a+b

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)^3=a^3+3b*a^2+3a*b^2+b^3

...........

两者对比可以发现,所求的系数即为杨辉三角,于是可以利用杨辉三角的性质对问题进行求解。

 1 void solve(int n)
 2 {
 3     int i,p,j;
 4     for(i=1;i<=n;i++)
 5     {
 6         for(j=1;j<=i;j++)
 7         {
 8             con[i][j]=con[i-1][j]+con[i-1][j-1];
 9         }
10     }
11 }

但是该解法时间复杂度为n^2,只需要求第n行的系数,但实际却把前n行的系数都求出来了,因此我们考虑第二种解法,数学推导。

方法二:数学推导

已知 

这个不难理解:(a+b)n是n个括号连乘,每个括号里任选一项乘起来都会对最后的结果又一个贡献。如果选了k个a,就一定会选n-k个b,最后的项自然是an-kbk。而n个a中选k个(同时也相当于n个b里选n-k个)有Ckn,这就是组合数的定义。

可以得时间复杂度为O(n).

1 void solve(int n)
2 {
3     int i,p,j;
4     con[1]=1;
5     for(i=1;i<=n;i++)
6         con[i]=con[i-1]*(n-i+1)/i;
7 }

原文地址:https://www.cnblogs.com/daybreaking/p/9511691.html