P6474 [NOI Online #2 入门组] 荆轲刺秦王

时间:2020-04-28
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P6474 [NOI Online #2 入门组] 荆轲刺秦王

bfs+差分+卡常
本来我其实是场内选手，但是因为记错提交时间，晚了半小时才交，交不上了，就自动降级为了场外选手

题面复杂，不简述了

首先定义状态 \(dis(x,y,num1,num2)\) 表示当前坐标是 \((x,y)\)，然后用了 \(num1\) 次隐身，\(num2\) 次瞬移，的最短时间
答案就是 \(\min(dis(tx,ty,[0,c1],[0,c2]))\)，其中 \((tx,ty)\) 为终点坐标

对于每个坐标，枚举 12 个方向
分别是 8 个正常走路的方向，如果进入了卫兵监视范围，\(num1\) 要加一，如果走到了卫兵的格子上，就不行
还有 4 个是瞬移的方向，此时 \(num1\) 要加一
同样要考虑是否进入卫兵监视范围和是否走到了卫兵的格子上

如果发现走到了最终格子，更新答案
题目要求先最小化时间，再最小化技能次数和，再最小化隐身次数，按要求更新就好，稍显麻烦
因此，也不能一搜到答案就退出，因为退出以后，后面可能还有花费同样时间，但技能次数小的方案
如果搜到就直接退出了后面的就取不到了

考虑怎么标记卫兵的防护范围，因为是曼哈顿距离，所以手动标记一下会观察出，防护范围就是一个斜着的正方形
比较像飞飞侠这题里的每一步能走哪些格的描述，当然做法上和这个题没有任何关系

直接标记是 \(n^4\)，不行
因为是一个区间，很容易想到使用线段树，对每一行建线段树，然后区间修改，bfs 时单点查询
但是这样多一个 \(\log\)，变成了 \(O(n\times m\times c1\times c2\times 12\times \log m)\approx 2\cdot 10^9\)，即使跑不满也够呛能过
然后事实证明，跑的是非常不满，只 TLE 了一个点，下面介绍的差分做法在优化之前也是 TLE 一个

所以因为查询是单点，所以可以使用差分
比如要修改区间 \([x,y]\)，让他们区间加一，设差分数组为 \(t\)，则让 \(t_x\) 加一，\(t_{y+1}\) 减一
然后，在对 \(t\) 做一个前缀和，就是原数组

为什么？因为 \(t_i\) 再做前缀和之前，表示的实际上是：\(i\) 号位置的数，比 \(i-1\) 位置的数大了多少
\(t_x\) 加一，就是 \(x\) 位置在经过区间加以后，比 \(x-1\) 位置的数，又多大了 \(1\)
而 \([x+1,y]\) 之间的所有位置，并 没有比它前面那个数多大或少大（相对大小没变），所以不用改变
而 \(t_{y+1}\) 减一，就是因为 \([x,y]\) 区间加以后，\(y+1\) 位置的数比 \(y\) 位置的数 少大了 \(1\)

那么，\(0\) 号位置是 \(0\)，所以 \(1\) 号位置比它“多大了”多少，那么 \(1\) 号位置就是多少
\(1\) 号位置确定了，\(2\) 号位置比 \(1\) 号位置“多大了”多少（在这里是“多大了”\(t_2\)），那 \(2\) 号位置实际的值就是 \(t_1+t_2\)，因为 \(t_1\) 在这里是相当于已经做过前缀和了，表示实际数值
然后 \(t_2\) 也就表示实际数值了，就一路前缀和到后面，算出了真实值

卡常
不要用STL！！！
队列一定不要用STL的，慢到死，会被卡在第 18 个点
还有，如果状态有很多维（比如这个题就是），不要偷懒把状态一个一个入队（我就经常这么做），太慢，最好是构建一个结构体
以前做的题不卡常看不出来
STL队列本机 10s+，改成手写本机+结构体 3s 多，但洛谷上还是过不了

然后加一个最优性剪枝

if(step>ans) continue;

就是如果当前的步数已经大于当前记录下的最优答案了，就不再继续搜了

然后本机 1s，洛谷 3s

代码写的丑了，挺长

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<map>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline int read(){
	register int x=0;register int y=1;
	register char c=std::getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
	return y?x:-x;
} 
int n,m,d,c1,c2;
int sx,sy,tx,ty;
int have[355][355],vis[355][355][17][17];
const int dx[8]={-1,-1,-1,0,0,1,1,1};
const int dy[8]={-1,0,1,-1,1,-1,0,1};
const int dxx[4]={-1,1,0,0};
const int dyy[4]={0,0,1,-1};
int t[355][355];
int ans=1e9,ans_num1,ans_num2;
inline int abs(int x){return x>0?x:-x;}
inline int min(int x,int y){return x>y?y:x;}
inline int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
struct data{
	int x,y,step,num1,num2;
}q[30000006];
inline int bfs(){
	reg int head=1,tail=0;
	q[++tail]=(data){sx,sy,0,0,0};
	vis[sx][sy][0][0]=1; 
	reg int x,y,step,num1,num2;
	data data_;
	while(head<=tail){
		data_=q[head++];
		x=data_.x;
		y=data_.y;
		step=data_.step;
		num1=data_.num1;
		num2=data_.num2;
		if(step>ans) continue;
		for(reg int x_,y_,k=0;k<8;k++){
			x_=x+dx[k];y_=y+dy[k];
			if(x_<1||x_>m) continue;
			if(y_<1||y_>n) continue;
			if(have[x_][y_]) continue;
			if(t[y_][x_]){
				if(num1==c1) continue;
				if(vis[x_][y_][num1+1][num2]) continue;
				if(x_==tx&&y_==ty){
					if(step+1<ans) ans=step+1,ans_num1=num1+1,ans_num2=num2;
					else if(step+1==ans){
						if(num1+num2+1<ans_num1+ans_num2) ans_num1=num1+1,ans_num2=num2;
						else if(num1+num2+1==ans_num1+ans_num2){
							if(num1+1<ans_num1) ans_num1=num1+1,ans_num2=num2;
						}
					}
				}
				vis[x_][y_][num1+1][num2]=1;
				q[++tail]=(data){x_,y_,step+1,num1+1,num2};
			}
			else{
				if(vis[x_][y_][num1][num2]) continue;
				if(x_==tx&&y_==ty){
					if(step+1<ans) ans=step+1,ans_num1=num1,ans_num2=num2;
					else if(step+1==ans){
						if(num1+num2<ans_num1+ans_num2) ans_num1=num1,ans_num2=num2;
						else if(num1+num2==ans_num1+ans_num2){
							if(num1<ans_num1) ans_num1=num1,ans_num2=num2;
						}
					}
				}
				vis[x_][y_][num1][num2]=1;
				q[++tail]=(data){x_,y_,step+1,num1,num2};
			}
		}
		if(num2==c2) continue;
		for(reg int x_,y_,k=0;k<4;k++){
			x_=x+dxx[k]*d;y_=y+dyy[k]*d;
			if(x_<1||x_>m) continue;
			if(y_<1||y_>n) continue;
			if(have[x_][y_]) continue;
			if(t[y_][x_]){
				if(num1==c1) continue;
				if(vis[x_][y_][num1+1][num2+1]) continue;
				if(x_==tx&&y_==ty){
					if(step+1<ans) ans=step+1,ans_num1=num1+1,ans_num2=num2+1;
					else if(step+1==ans){
						if(num1+num2+2<ans_num1+ans_num2) ans_num1=num1+1,ans_num2=num2+1;
						else if(num1+num2+2==ans_num1+ans_num2){
							if(num1+1<ans_num1) ans_num1=num1+1,ans_num2=num2+1;
						}
					}
				}
				vis[x_][y_][num1+1][num2+1]=1;
				q[++tail]=(data){x_,y_,step+1,num1+1,num2+1};
			}
			else{
				if(vis[x_][y_][num1][num2+1]) continue;
				if(x_==tx&&y_==ty){
					if(step+1<ans) ans=step+1,ans_num1=num1,ans_num2=num2+1;
					else if(step+1==ans){
						if(num1+num2+1<ans_num1+ans_num2) ans_num1=num1,ans_num2=num2+1;
						else if(num1+num2+1==ans_num1+ans_num2){
							if(num1<ans_num1) ans_num1=num1,ans_num2=num2+1;
						}
					}
				}
				vis[x_][y_][num1][num2+1]=1;
				q[++tail]=(data){x_,y_,step+1,num1,num2+1};
			}
		}
	}
	return -1;
}
int main(){
//	std::freopen("bandit18.in","r",stdin);
//	std::freopen("bandit.out","w",stdout);
	n=read();m=read();c1=read();c2=read();d=read();
	reg char c;
	for(reg int i=1;i<=n;i++){
		for(reg int j=1;j<=m;j++){
			c=std::getchar();
			while(c!='S'&&c!='T'&&c!='.'&&(c<'0'||c>'9')) c=std::getchar();
			if(c=='S') sx=j,sy=i;
			else if(c=='T') tx=j,ty=i;
			else if(c>='0'&&c<='9'){
				reg int x=c^48;c=std::getchar();
				while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+(c^48),c=std::getchar();
				have[j][i]=1;
				int tmp=std::min(n,i+x-1);
				for(reg int k=std::max(i-x+1,1);k<=tmp;k++)
					t[k][max(1,j-x+1+abs(i-k))]++,t[k][min(m,j+x-1-abs(i-k))+1]--;
			}
		}
	}
	for(reg int i=1;i<=n;i++)
		for(reg int j=1;j<=m;j++) t[i][j]+=t[i][j-1];
	bfs();
	if(ans==1e9) std::puts("-1");
	else std::printf("%d %d %d",ans,ans_num1,ans_num2);
	return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/suxxsfe/p/12794613.html

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