边双连通图计数

求 \(n\) 个点的有标号边双连通图（简单无向图，整个图是一个边双连通分量）的个数，答案对 \(998244353\) 取模。

\(n \leq 10^5\)。

题解

https://www.luogu.com.cn/blog/user13052/solution-p5828

设有根连通无向图的指数生成函数是 \(F(x)\)。显然有根就在无根的情况下选一个根出来就行了。

设有根边双连通图的指数生成函数是 \(G(x)\)。用 \(G\) 来表示 \(F\)：

假设根所在边双大小 \(n\)，其EGF为 \(g_n\frac{x^n}{n!}\)，而对于向外连的桥边中的一条，它挂着一个连通无向图，接在边双的任意一个点上，所以得到它的EGF为 \(nF(x)\)；可以往外挂若干个连通无向图，故EGF是 \(\exp(nF(x))\)。所以

\[ F(x)=\sum_{i=1}^\infty g_i\frac{x^i}{i!}\exp(iF(x))\\ =\sum_{i=1}^nb_i\frac{x^i}{i!}(\exp F(x))^i=G(x\exp F(x)) \]

设 \(H(x)=x\exp F(x)\) 则 \(F(x)=G(H(x))\)。两边对用 \(H^{-1}(x)\) 代换 \(x\) 得 \(G(x)=F(H^{-1}(x))\)。

有扩展拉格朗日反演公式如下：

\[ [x^n]A(B^{-1}(x))=\frac{1}{n} [x^{n-1}]A'(x)\left(\frac{x}{B(x)}\right)^n \]

代入可得

\[ [x^n]G(x)=\frac{1}{n} [x^{n-1}]F'(x)\left(\frac{x}{H(x)}\right)^n\\ =\frac{1}{n} [x^{n-1}]F'(x)\exp(-nF(x)) \]

我们可以在 \(O(n\log n)\) 的时间复杂度求得 \(G(x)\) 的一项系数。注意因为这是有根边双的EGF，所以最后要乘一个 \(n!\) 并除以一个 \(n\)。

CO int N=262144;
int omg[2][N],rev[N];
int fac[N],inv[N],ifac[N];

void NTT(poly&a,int dir){
    int lim=a.size(),len=log2(lim);
    for(int i=0;i<lim;++i) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<(len-1);
    for(int i=0;i<lim;++i)if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=1;i<lim;i<<=1)
        for(int j=0;j<lim;j+=i<<1)for(int k=0;k<i;++k){
            int t=mul(omg[dir][N/(i<<1)*k],a[j+i+k]);
            a[j+i+k]=add(a[j+k],mod-t),a[j+k]=add(a[j+k],t);
        }
    if(dir==1){
        int ilim=fpow(lim,mod-2);
        for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],ilim);
    }
}
poly operator~(poly a){
    int n=a.size();
    poly b={fpow(a[0],mod-2)};
    if(n==1) return b;
    a.resize(1<<(int)ceil(log2(n)));
    for(int lim=2;lim<2*n;lim<<=1){
        poly c(a.begin(),a.begin()+lim);
        c.resize(lim<<1),NTT(c,0);
        b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
        for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(2+mod-mul(c[i],b[i]),b[i]);
        NTT(b,1),b.resize(lim);
    }
    return b.resize(n),b;
}
poly log(poly a){
    int n=a.size();
    poly b=~a;
    for(int i=0;i<n-1;++i) a[i]=mul(a[i+1],i+1);
    a.resize(n-1);
    int lim=1<<(int)ceil(log2(2*n-2));
    a.resize(lim),NTT(a,0);
    b.resize(lim),NTT(b,0);
    for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
    NTT(a,1),a.resize(n);
    for(int i=n-1;i>=1;--i) a[i]=mul(a[i-1],inv[i]);
    return a[0]=0,a;
}
poly exp(poly a){
    int n=a.size();
    poly b={1}; // a[0]=0
    if(n==1) return b;
    a.resize(1<<(int)ceil(log2(n)));
    for(int lim=2;lim<2*n;lim<<=1){
        b.resize(lim);poly c=log(b);
        c[0]=add(1+a[0],mod-c[0]);
        for(int i=1;i<lim;++i) c[i]=add(a[i],mod-c[i]);
        c.resize(lim<<1),NTT(c,0);
        b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
        for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(c[i],b[i]);
        NTT(b,1),b.resize(lim);
    }
    return b.resize(n),b;
}
poly operator*(poly a,poly b){
    int n=a.size()+b.size()-1;
    int lim=1<<(int)ceil(log2(n));
    a.resize(lim),NTT(a,0);
    b.resize(lim),NTT(b,0);
    for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
    NTT(a,1),a.resize(n);
    return a;
}

void real_main(){
    int n=read<int>();
    poly f(n+1);
    for(int i=0;i<=n;++i) f[i]=mul(fpow(2,(int64)i*(i-1)/2%(mod-1)),ifac[i]);
    f=log(f);
    for(int i=0;i<=n;++i) f[i]=mul(f[i],i);
    poly g=f;
    for(int i=0;i<=n;++i) g[i]=mul(g[i],mod-n);
    for(int i=0;i<n;++i) f[i]=mul(f[i+1],i+1);
    f.resize(n);
    int ans=mul((f*exp(g))[n-1],inv[n]);
    ans=mul(ans,fac[n-1]);
    printf("%d\n",ans);
}
int main(){
    omg[0][0]=1,omg[0][1]=fpow(3,(mod-1)/N);
    omg[1][0]=1,omg[1][1]=fpow(omg[0][1],mod-2);
    fac[0]=fac[1]=1;
    inv[0]=inv[1]=1;
    ifac[0]=ifac[1]=1;
    for(int i=2;i<N;++i){
        omg[0][i]=mul(omg[0][i-1],omg[0][1]);
        omg[1][i]=mul(omg[1][i-1],omg[1][1]);
        fac[i]=mul(fac[i-1],i);
        inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
        ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
    }
    for(int i=1;i<=5;++i) real_main();
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/autoint/p/12183331.html