「12.14test」养生

时间:2020-01-14
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「12.14test」养生

给定一棵 \(N(N \le 10^6)\) 个点的,点带权(\(\le 10^6\)),定义 \(c(i, j)\) 为从点 \(i\) 到点\(j\) 的路径上的最大点权与最小点权的差值,现在要求 \(\sum_{i = 1} ^ n \sum_{j = i} ^ n c(i, j)\)
考虑先把所有的最大值算出来,再减掉所有最小值。
考虑一个点在作为某路径的最大值时的贡献:
显然我们可以从这个点向四周扩展一个极大的联通块,使得该联通块内其他点的权值都小于它,那么该联通块内任何一条经过了该点的路径都会算该点的贡献。
我们可以把所有点按照点权升序排列,依次加入联通块中,这里用并查集维护,然后每次合并联通块时就先把这两个联通块之间的该点的贡献给算完。
算最小值同理。
参考代码:

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#define rg register
#define file(x) freopen(x".in", "r", stdin), freopen(x".out", "w", stdout)
using namespace std;
template < class T > inline void read(T& s) {
    s = 0; int f = 0; char c = getchar();
    while ('0' > c || c > '9') f |= c == '-', c = getchar();
    while ('0' <= c && c <= '9') s = s * 10 + c - 48, c = getchar();
    s = f ? -s : s;
}

const int _ = 1e6 + 5;
typedef long long LL;

int tot, head[_], nxt[_ << 1], ver[_ << 1];
inline void Add_edge(int u, int v)
{ nxt[++tot] = head[u], head[u] = tot, ver[tot] = v; }

int n, c[_], rk[_], Fa[_], siz[_], vis[_];

inline int Find(int x) { return Fa[x] == x ? x : Fa[x] = Find(Fa[x]); }

inline bool cmp(const int& i, const int& j) { return c[i] < c[j]; }

int main() {
    file("tree");
    read(n);
    for (rg int i = 1; i <= n; ++i) read(c[i]);
    for (rg int u, v, i = 1; i < n; ++i)
        read(u), read(v), Add_edge(u, v), Add_edge(v, u);
    for (rg int i = 1; i <= n; ++i) rk[i] = i;
    sort(rk + 1, rk + n + 1, cmp);
    LL ans = 0;
    for (rg int i = 1; i <= n; ++i) vis[i] = 0, Fa[i] = i, siz[i] = 1;
    for (rg int i = 1; i <= n; ++i) {
        int u = rk[i]; vis[u] = 1;
        for (rg int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
            int v = ver[i]; if (!vis[v]) continue ;
            int fu = Find(u), fv = Find(v);
            ans += 1ll * c[u] * siz[fu] * siz[fv];
            if (siz[fu] > siz[fv]) swap(fu, fv);
            siz[fv] += siz[fu], Fa[fu] = fv;
        }
    }
    for (rg int i = 1; i <= n; ++i) vis[i] = 0, Fa[i] = i, siz[i] = 1;
    for (rg int i = n; i >= 1; --i) {
        int u = rk[i]; vis[u] = 1;
        for (rg int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
            int v = ver[i]; if (!vis[v]) continue ;
            int fu = Find(u), fv = Find(v);
            ans -= 1ll * c[u] * siz[fu] * siz[fv];
            if (siz[fu] > siz[fv]) swap(fu, fv);
            siz[fv] += siz[fu], Fa[fu] = fv;
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

原文地址:https://www.cnblogs.com/zsbzsb/p/12190561.html