三月算法学习总结

2020-3-23

一：图论基本算法：

几个概念：

度数：无向图中一个点连出去的边数

联通：两个点通过路径相连

拓扑图：没有环的图、

三无图：无向，无重边，无自环

割点：删除这个点之后图不连通

桥边: 删除这个边之后图不连通

强联通：有向图中，两个点可以互相到达

强联通分量（ SCC)：有向图中，分量中所有点可以互相到达

点双联通分量：没有割点；

边双联通分量：没有割边；

1.1 最短路总结（较重要）：

其实bfs解决最短路是没问题的，感觉bfs启发了最短路算法。

算法	数据规模	复杂度	数据结构	边权	用法
floyd	200	O(n^3)	邻接矩阵	有负	解决一些其他问题挺方便
spfa	>=1e7	O(n*m)	邻接表，前向星	有负	随机数据线性时间，网格图可以拉满复杂度，可判负边，比较好写
dijkstra	>=1e7	O(m*log(n))	邻接表，前向星	无负	较快通用算法

1.2 差分约束：

解决一系列线性规划问题：

把x1，x2，等等,看做最短路节点，

跑一遍spfa，对于每一条边起点u，终点v，都有：

那么在求解最短路的时候，实际上是得到一组最大解（因为若干个 = 的成立）。

求解最长路，得到的是一组最小解。

板题：poj3159

跑一遍spfa，前向星+模拟队列,不然TLE

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1.3 拓扑图

做法：

按顺序跑一遍，可以bfs，dfs，个人喜欢bfs。

做法：找出入度为0的点，开始广搜。

用法：

判断有没有环：拓扑时记录出队人数，小于n必有环。
当拓扑队列里人数超过2时，说明有排名并列。

例题：

T123571 Misaka Network

按拓扑序选择，

记得当时犯了一个逻辑错误：一个点不是控制点，就是如果有控制点连到它就行了。

但，一个点是控制点，不是说连到它的点不是控制点就行了，只要有一个连到它的控制点，那它就不是控制点。

1.4 欧拉路（一笔画）

做法：

无向图：

第一步：判断是否联通，并查集解决；

第二步：

所有点度数为偶数欧拉回路起点，终点度数为奇数，其余点度数为偶数欧拉路其他都不是

有向图：

第一步：判断是否联通，并查集解决；

第二步：记录出入度数

所有点入出欧拉回路起点出入，终点入出，其他点入出欧拉路其他都不是

例题：

B - Grid with Arrows

网格图欧拉路，开不了数组，蛋疼的动态过不了，哈希处理

1.5 无向图求割点及割边

tarjan算法：

一张图搞成一颗dfs树;

low数组表示可到达祖先，dep表示递归深度；

如果 low[v]>=num[u]，说明是割点；

如果 low[v]>num[u] 说明是割边；

如果 num[v]<num[u]&&v!=fa，说明是回退边，

求构成边连通分量的最小边：

运用缩点技术：

在dfs的时候，low值相同的点必然在一个边双联通分量里，把每一个双连通分量压缩成为一个点求解。

1.6 有向图求强联通分量

还是tarjan算法

有以下结论：

1.一个强联通分量的所有的可以互相访问，low值相同。

2.用栈保存节点（注意是边，而不是点），dfs撞到 low=dep的点，把栈里元素全抖出来，构成一个SCC。

1.7 最小生成树

贪心取边+并查集联通（较简单）复杂度(O(E log(E)+E))

1.8 二分图匹配（较重要）

如图：一个图分成了两个部分，这两个独立集内部都没有边，这就是一个二分图。

几个结论：

最小点覆盖最大匹配最大独立集总点数最小点覆盖

如何判断一个图可以搞成二分图？

采用染色法，每两个相邻的点必然不在一个独立集里，把他们染成不同的颜色。

二分图等价于没有奇环的图

如果有奇环，染色染出来必然矛盾。

二分图匹配（匈牙利算法）

较简单，

点u，v可以匹配，当且仅当 u，v都还未匹配，或者u已经匹配的点可以换人匹配，最终使得u，v匹配。

写法：

bool findpath(int u){
    for(int i=0;i<e[u].size();i++){
    int v=e[u][i];
    if(!vis[v]){
    vis[v]=1;
    if(!match[v]||findpath(match[v])){
        match[v]=u;
        return 1;
        }
        }
    }
    return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/littlerita/p/12557701.html