采用递归和非递归方法求解Hanoi问题

目的：领会基本递归算法设计和递归到非递归的转换方法

内容：编写一个程序exp5-1.cpp，采用递归和非递归方法求解Hanoi问题，输出三个盘片的移动过程

写在前面

题目是昨天老师发在学习通上的，目前

解决了:

Hanoi问题理解
Hanoi递归算法及其实现

未解决的:

Hanoi非递归算法及实现
(PPT上是用栈来实现的，然而笔者对栈不熟...解决完再记上来吧)

以下就从解决了的两个方面展开讨论

Hanoi问题理解

笔者参考的是算法动态图解app上的解释，还挺直观的:

简单来说就是有X，Y，Z三个柱子，目标是将X柱子上的盘片移动到Y柱子上，同时要保持和X柱相同的顺序。X柱子上盘片自下而上、由大到小放置着n个盘片，两个要求:

Ⅰ. 一次只能移一个盘片

Ⅱ.不能把大盘片放在小盘片上

个人的理解:
首先，为了方便分析，将X柱上盘片自上而下依次编号为$1,2...n$

当n=1时，即A柱上只有一个盘片，直接从X移动到Z，这是最简单的情况
当n=2 时，
第一步，把1号移动到Y柱(因为要满足要求Ⅱ，2号盘片必须第一个移动到Z柱上，那么必须把1号先移开，移动到哪里？肯定不能是Z柱，那么就是Y柱了)
第二步，把2号盘移到Z柱
第三步，把1号从Y柱移动到Z柱，完成！
当n=3时，
第一步，可以把1号，2号盘，通过Z柱移到Y柱，这在前面(n=2时)已经证明可行。
第二步，把3号盘移到Y柱
第三步，发现问题转化为n=2的情况，即把1号，2号盘，从Y柱移动到Z柱，方法参见n=2，不再赘述

写到这里，我们发现这个问题是可递归的，n个盘片的Hanoi问题可以通过n-1个盘片的Hanoi问题求得，抽象成数学语言就是$$f(n)=g(f(n-1)，c_{n-1})，f(1)=m_1$$

要求$f(n)$，可先求$f(n-1)，f(n-2)...$，层层递归，直到$f(1)$

Hanoi递归算法及其实现

递归模型及递归算法

设计递归模型
可以看出递归模型分为递归体，递归出口两个部分，其实就是高中数学数列，递归函数概念
设计递归算法(以本题为例)
把盘片数，X柱，Y柱，Z柱分别抽象成自定义函数的四个参数n,X,Y,Z

void Hanoi1(int n，char X，char Y，char Z)

分别用if语句，else语句描述递归出口与递归体

算法代码:


//递归法
void Hanoi1(int n,char X,char Y,char Z){

    
        if(n==1){
        printf("\t将第%d个盘片从%c移动到%c\n",n,X,Z);//递归出口，当只有一个盘片时     }
        else {
        Hanoi1 (n-1,X,Z,Y);//将n-1个盘片，通过z,从x移动到y
        printf ("\t把第%d个盘片从%c移动到%c\n",n,X,Z);//将第n个盘片，从x移动到z
        Hanoi1 (n-1,Y,X,Z);//将n-1个盘片，通过x,从y移动到z
        
        }
}

Hanoi递归算法的实现

理解了算法代码的实现，接下来就就是"搬砖"阶段了

在main()函数里分别初始化三个参数的值，然后调用Hanoi1()就可以了

完整代码:

#include <iostream>
using namespace std;

//递归法
void Hanoi1(int n,char X,char Y,char Z){

    
        if(n==1){
        printf("\t将第%d个盘片从%c移动到%c\n",n,X,Z);//递归出口，当只有一个盘片时
    }
    else {
        Hanoi1 (n-1,X,Z,Y);//将n-1个盘片，通过z,从x移动到y
        printf ("\t把第%d个盘片从%c移动到%c\n",n,X,Z);//将第n个盘片，从x移动到z
        Hanoi1 (n-1,Y,X,Z);//将n-1个盘片，通过x,从y移动到z
        
    }
}
int main() {
    int n=3;
    char X='x',Y='y',Z='z';
    cout <<"递归法过程:"<<endl;
    Hanoi1 (n,X,Y,Z);
    return 0;
}

运行截图:

写在最后

在"搬砖"的过程中，出现了许多错误，变量未初始化(uninitialzing)，函数未指名(not declared) ...原因在于没有经历完整的c语言编程过程，只是看教材的代码，效率确实太低了。

原文地址：https://www.cnblogs.com/hzyb2018/p/12672049.html