数据结构中的树 - 码农教程

树的定义

树Tree是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：
1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、……、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

此外，树的定义还需要强调以下两点：
1）n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。
2）m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。

如图1,普通的树结构：

图1：普通的树结构

节点的度

节点拥有的子树数目称为节点的度。
例如图2所示：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2

节点关系

结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。
图中，A为B的双亲结点，B为A的孩子结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
图中，结点B与结点C互为兄弟结点。

结点层次

从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。

如图3所示：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图3

树的深度

树中结点的最大层次数称为树的深度或高度，图中树的深度为4。

二叉树

定义

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、
分别称为根结点的左子树和右子树组成。
如图4所示:

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图4

二叉树特点

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点：
1）每个结点最多有两个子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。

二叉树性质

1）在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点。（i>=1）
2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1）
3）n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。
4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：

(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

斜树

斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。
如图5左斜树、图6右斜树

图5左斜树图6右斜树

满二叉树

满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，
这样的二叉树称为满二叉树。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图7

满二叉树的特点有:

1) 叶子只能出现在最后一层。
2) 非叶子结点的度一定是2。
3) 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

完全二叉树

对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中
编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图8

完全二叉树的特点：

1) 叶子结点只能出现在最下层和倒数第二层。
2) 最后一层的叶子结点集中在树的左部且连续。
3) 倒数第二层若存在叶子结点，一定在右树且连续。
4) 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
5) 同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。

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