CF 1238F - Swiper, no swiping!

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简要题意： 删除若干个点（不能是所有或空集），满足剩下的点度数在 \(\pmod 3\) 意义下不变。保证图联通。

---

按照 \(\mod 3 = 0, 1,2\) 分为三组点 \(Z,A,B\)

首先把一些简单的情况判断掉：

• 有 \(Z\) 点。保留这个点即可。
• 有两个 \(A\) 点之间右边。保留这两个点即可。

现在只有两类点，\(A\) 类内部不能连。

考虑 \(B\) 类内部连边，如果有环把环提出来即可。（如果整个图是一个大环则无解）

于是 \(B\) 类只能是一棵树。

将 \(B\) 分为 \(\text{A点的个数}\) 类，分别为 \(B_1,B_2,B_3,\dots\)。（一个点可能属于多个类）

如果 \(B\) 有多种类型，一定有一条路径满足头尾分别在不同的类里面，并且中间的都不在这两类点之中。

于是剩下的点一定是一个森林。

于是 \(A\) 类点只能有一个。

仔细分析还可以发现这个点的度数至少是 \(4\) 。（森林至少有\(2\)个叶子，这两个叶子一定会连向 \(A\)，又需要 $ \mod 3 = 1$）

考虑构造一个 \(A\) 点度数是 \(4\) 的情况。

选定一个点作为根并且\(A\) 连向它，然后往外面连一个点。

这个时候可以拓展出所有树的情况。

考虑称一颗子树的期望度数是叶子节点的个数加上已经与之连上的节点个数。

考虑每次拓展一个节点。

分度数考虑：

• \(d = 4\) 期望度数 \(+3\)
• \(d= 3\) 因为当前节点要连上去，期望度数 \(+ 3\)
• \(d = 1\) 期望度数不会增加。

即：$ \mod 3$意义下期望度数不会改变。

发现一棵树对 \(A\) 的度数的贡献是 \(2\) 。

所以至少有两颗树。

直接在 \(2\) 颗树里找一条路径即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e6+5;
int Case;
namespace G{
    int n,m;
    int hed[N],to[N],nxt[N],cnt;
    int deg[N],u[N],v[N],d[N],vis[N],par[N],del[N];
    bool vis2[N];
    inline void adde(int u,int v){
        del[cnt+1]=0;++cnt;to[cnt]=v,nxt[cnt]=hed[u];hed[u]=cnt;
    }
    inline void read(){
        cnt=1;cin >> n >> m;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d",&u[i],&v[i]);
            deg[u[i]]++, deg[v[i]]++;
        }
    }
    inline void output(vector<int> del){
        vector<bool> ans(n+1,0);
        if((int)del.size()==n){
            puts("No");
        }else{
            puts("Yes");
            printf("%d\n",n-(int)del.size());
            for(size_t i=0;i<del.size();i++)ans[del[i]]=1;
            for(int i=1;i<=n;i++){
                if(!ans[i])printf("%d ",i);
            }puts("");
        }
    }
    vector<int> ret;
    int rt, Rt[N], dep[N] ;
    inline void dfs(int x,int pre){
        dep[x] = dep[pre]+1;Rt[x] = rt;par[x] = pre;
        vis[x] = 1;
        // cout << x << endl;
        int T = 0;
        for(int i=hed[x];i;i=nxt[i]){
            int v=to[i];if(v==pre)continue;
            if(vis[v]){
                if(dep[v] < dep[x]){
                    if(!ret.size()){
                        if(!T)T=v;
                        else if(dep[v] > dep[T])T=v;
                    }
                }
            }
        }
        if(T){
            int cur = x;
            // cout << cur << " :";
            ret.push_back(cur);
            while(cur!=T){
                cur = par[cur];
                // cout << cur << " :";
                ret.push_back(cur);
            }
        }
        for(int i=hed[x];i;i=nxt[i]){
            int v=to[i];if(!vis[v]){
                dfs(v,x);
            }
        }
    }
    vector<int> getpath(int x,int y){
        bool tag = 0;
        if(dep[x] < dep[y])swap(x,y),tag = 1;
        vector<int> a,b;
        while(dep[x] > dep[y]){
            a.push_back(x);
            // cout << x << "?" << endl;
            x = par[x];
        }
        while(x!=y){
            a.push_back(x),b.push_back(y);
            x=par[x],  y = par[y];
        }
        a.push_back(x);
        reverse(b.begin(),b.end());
        for(size_t i=0;i<b.size();i++)a.push_back(b[i]);
        if(tag)reverse(a.begin(),a.end());
        return a;
    }
    typedef pair<int,int> pi;
    bool sx[N],sy[N];
    void Answer(int x,vector<int> path,int y){
        for(int i=1;i<=n;i++)sx[i] = sy[i] = 0;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            if(u[i]==x)sx[v[i]]=1;
            if(u[i]==y)sy[v[i]]=1;
        }
        for(int i=0;i<(int)path.size();i++)if(sy[path[i]]){
            path.resize(i+1);
            break;
        }
        vector<int> s;
        for(int i=(int)path.size()-1;~i;i--){
            s.push_back(path[i]);
            if(sx[path[i]])break;
        }
        s.push_back(x),s.push_back(y);
        output(s);
    }
    vector<pi> s[N];
    vector<int> RRR;
    int delnode[N];
    inline int DF(int x,int pre){
        if(sx[x]){RRR.push_back(x);return x;}
        int T = 0;
        for(int i=hed[x];i;i=nxt[i])if(to[i]!=pre&&!delnode[to[i]]){
            int ret = DF(to[i],x);
            if(ret > 0){T = 1;break;}
        }
        if(T)RRR.push_back(x);
        return T;
    }
    void Sol(int nd1,int cnt0){
        // cout << "Sol" << nd1 << endl;
        for(int i=1;i<=n;i++)sx[i] = 0;
        for(int i=1;i<=m;i++)if(u[i]==cnt0)sx[v[i]]=1;
        RRR.push_back(nd1);
        int R = 2;if(sx[nd1])R--;
        for(int i=hed[nd1];i;i=nxt[i]){
            int v = to[i];
            if(DF(v,nd1))R--;
            if(!R)break;
        }
        // output(RRR);
    }
    inline void solve(){
        int BLOCKS = 0;
        // cerr << "step" << endl;
        for(int i=1;i<=n;i++){if(deg[i]%3 == 0){output(vector<int> (1,i));return ;}}
        for(int i=1;i<=m;i++){
            if(deg[u[i]]%3==1 && deg[v[i]]%3==1){
                vector<int> r(2,0);r[0] = u[i], r[1] = v[i];
                output(r);
                return ;
            }
            if(deg[u[i]]%3==2 && deg[v[i]]%3==2){
                adde(u[i],v[i]), adde(v[i],u[i]);
                d[u[i]]++, d[v[i]]++;
            }
        }
        
        // cerr << "step" << endl;
        ret.clear();
        for(int i=1;i<=n;i++)if(deg[i]%3 == 2 && !vis[i]){
            // cout << i << "dfs" << endl;
            BLOCKS++;
            rt = i;dfs(i,0);
        }
        if(ret.size()){output(ret);return ;}
        // cerr << "step" << endl;
        vector<int> cnt1;
        for(int i=1;i<=n;i++)if(deg[i]%3==1)cnt1.push_back(i);
        // if(Case == 186){
        //  cout << -(int)cnt1.size() << endl;
        // }
        if((int)cnt1.size()>1){
            for(int i=1;i<=m;i++){
                if(deg[u[i]]%3==2 && deg[v[i]]%3==1)swap(u[i],v[i]);
                if(deg[u[i]]%3==1 && deg[v[i]]%3==2){
                    int r = Rt[v[i]];
                    s[r].push_back(pi(u[i],v[i]));
                }
            }
            for(int i=1;i<=n;i++)if(s[i].size()){
                sort(s[i].begin(),s[i].end());
                for(int j=1;j<(int)s[i].size();j++){
                    if(s[i][j].first!=s[i][j-1].first){
                        vector<int> ret = getpath(s[i][j].second, s[i][j-1].second);
                        // cout << s[i][j].second << " " << s[i][j-1].second << endl;
                        // for(size_t k=0;k<ret.size();k++)cout << ret[k] << " ";puts("");
                        Answer(s[i][j].first, ret, s[i][j-1].first);
                        return ;
                    }
                }
            }
        }else{
            RRR.clear();
            // cout << BLOCKS << "??" << endl;
            for(int i=1;i<=m;i++)
                if(deg[u[i]]%3==2 && deg[v[i]]%3==1)swap(u[i],v[i]);
            for(int i=1;i<=n;i++)sx[i] = 0, delnode[i] = 0, vis2[i] = 0;
            for(int i=1;i<=m;i++)if(u[i]==cnt1[0])sx[v[i]]=1;
                RRR.push_back(cnt1[0]);
                for(int i=1;i<=n;i++)vis2[i] = 0;
                int T = 2;
                for(int i=1;i<=n;i++)if(deg[i]%3==2){
                    
                    if(!vis2[Rt[i]]){
                        vis2[Rt[i]]=1,Sol(i,cnt1[0]),T--;
                    }
                    if(T==0){
                        break;
                    }
                }
                output(RRR);            
            return ;
        }
    }
    void clear(){
        for(int i=1;i<=n;i++)dep[i] = Rt[i] = par[i] = vis[i] = hed[i] = 0, d[i] = deg[i] = 0;cnt=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)s[i].clear();
    }
}

int main()
{
    int T;cin >> T;
    while(T--){
        Case++;
        G::read();
        G::solve();
        G::clear();
    }
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/weiyanpeng/p/11722437.html