[总结]树与图的遍历

[总结]树与图的遍历

一、图的深度优先遍历

图的深度优先遍历，就是在遍历到一个点\(x\)时任取一条边继续遍历，直到回溯到\(x\)，再考虑走其他的边。
图的深度优先遍历会访问每个点，每条边各一次(无向图正反边各访问一次)，故时间复杂度为\(O(N+M)\)。
利用图的深度优先遍历可以统计图或树上的各种信息。
具体实现：

void dfs(int u){
    vis[u]=1;
    for(int i=first[u];e;e=next[e]){
        int v=go[e];
        if(vis[v]) continue;
        dfs(v);
    }
} 

1.时间戳

我们对图按照深度优先遍历的时候，以每次访问到的节点的顺序标记(也可以理解为vis[u]被标记成1的时候)，这样的标记就是时间戳，通常用\(dfn[ ]\)表示。
具体实现：

void dfs(int u){
    vis[u]=1;
    dfn[u]=dfn[0]++; //默认节点编号为1~n
    for(int i=first[u];e;e=next[e]){
        int v=go[e];
        if(vis[v]) continue;
        dfs(v);
    }
} 

2.树的DFS序

当我们对树进行深度优先遍历时，我们分别在一个点递归开始和递归结束(即将回溯)时各记录一次这个节点的编号，最后产生长度为2N的序列就是树的DFS序。
特点：
设一个点\(x\)在DFS序中出现的位置分别为\(L，R\)，那么[L,R]就是以\(x\)为根结点的子树的DFS序，这样就可以把对子树的操作转化为在序列上操作。
具体实现：

void dfs(int u){
    vis[u]=1;
    num[++cnt]=u;
    for(int i=first[u];e;e=next[e]){
        int v=go[e];
        if(vis[v]) continue;
        dfs(v);
    }
    num[++cnt]=u;
} 

3.树的深度

一棵树的深度就是根结点到叶子节点的最大距离，我们在遍历每个点时，不断递推子节点高度。
最初，根结点的深度为0，每次遍历都有\(dep[v]=dep[u]+1;\)，这样可以求出每个点的深度。
具体实现：

void dfs(int u){
    vis[u]=1;
    for(int i=first[u];e;e=next[e]){
        int v=go[e];
        if(vis[v]) continue;
        dep[v]=dep[u]+1;
        dfs(v);
    }
} 

4.树的重心

正如字面意思，我们要寻找这样一个节点，使得树的左右两边尽量平衡。平衡意味着我们要找到这样一个节点：
它最大的子树的大小要小于任意其他节点的最大子树的大小。
我们任选一个节点作为我们树的重心，这时求出该节点最大子树的大小\(maxsize\)，并记录着个节点为答案。如果之后遍历的节点能够使\(maxsize\)减小，那么这个点作为重心一定更优，因此我们更新\(maxsize\)，以及最终答案。

具体实现：

void dfs(int u){
    vis[u]=1;size[u]=1;//只有一个点的大小为1
    for(int i=first[u];e;e=next[e]){
        int v=go[e];
        if(vis[v]) continue;
        dfs(v);
        size[u]+=size[v];//在回溯的时候(由下至上)更新根结点的子树大小
        maxsize=max(size[v],maxsize);//目前节点最大子树的大小，对应"子树1"，"子树2"
    }
    maxsize=max(maxsize,n-size[u]);//更新其余部分的大小
    if(maxsize<ansize){//如果产生更小的最大子树
        ansize=maxsize;//更新最小的最大子树大小
        pos=u;//记录这个点
    }
}

5.树的直径

树的直径就是一棵树中任意两点的最远距离。要求树的直径，可以先从根结点遍历，找到最远的一个节点，再由这个节点作为根结点进行遍历就能求出这棵树的直径。我们可以知道，该直径的两端点必然是树的两个叶子节点。
具体实现：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 5000
struct node{
    int next,to;
}edge[N];
int num_edge,head[N],dis[N],n,a,b,y;
inline void add_edge(int from,int to){
    edge[++num_edge].next=head[from];
    edge[num_edge].to=to;
    head[from]=num_edge;
}
int dfs(int x){
    for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
        if(!dis[edge[i].to]){
            dis[edge[i].to]=dis[x]+1;
            dfs(edge[i].to);
        }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;++i){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add_edge(a,b);add_edge(b,a);
    }
    dfs(1);
    for(int i=y=1;i<=n;i++) if(dis[i]>dis[y]) y=i;
    memset(dis,0,sizeof(dis));
    dfs(y);
    for(int i=y=1;i<=n;i++) if(dis[i]>dis[y]) y=i;
    printf("%d",dis[y]);
    return 0;
}

二、图的广度优先遍历

图的深度优先遍历会沿着一条边走并回溯，而广度遍历会将该节点能到达的所有的节点全部插入队列(已访问过的除外)，直到队列为空。
性质：

1. 队列里只会保存第\(x\)层和第\(x+1\)层的节点。
2. 只有第\(x\)层节点遍历完以后，才会遍历第\(x+1\)层的节点。
   具体实现：

void bfs(){
    queue<int> q;
    q.push(1);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        vis[u]=1;
        for(int i=first[u];i;i=next[i]){
            int v=go[i];
            if(vis[v]) continue;
            vis[v]=1;
            q.push(v);
        }
    }
} 

原文地址：https://www.cnblogs.com/cyanigence-oi/p/11736394.html