【cf995】F. Cowmpany Cowmpensation（拉格朗日插值）

传送门

题意：
给出一颗树，每个结点有取值范围\([1,D]\)。
现在有限制条件：对于一个子树，根节点的取值要大于等于子数内各结点的取值。
问有多少种取值方案。

思路：

• 手画一下发现，对于一颗大小为\(sz\)的数，最终的答案为一个\(sz+1\)次为最高次幂的多项式。
• 因为节点数\(n\leq 3000\)，所以暴力求出后插值即可。

简略证明：对于一个链，显然，一个长度为\(x\)的链，最终的结果为\(x+1\)次的多项式；考虑两条链的合并：长度为\(x\)的链和长度为\(y\)的链，显然两者相乘最终为\(x+y+2\)次的多项式，因为合并过后会多一个父节点，那么就是有\(x+y+1\)个点。
归纳一下就有上面说的结论了。
代码如下：

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2019/11/18 20:20:04
 */
#include <bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << '\n'; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
void pt() {std::cout << '\n'; }
template<typename T, typename...Args>
void pt(T a, Args...args) {std::cout << a << ' '; pt(args...); }
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 3005, MOD = 1e9 + 7;
 
ll qpow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = ans * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }   
    return ans;
}
 
int n, D;
 
vector <int> g[N];
int res[N];
int pre[N][N];
 
void dfs(int u, int fa) {
    int son = 0;
    for(auto v : g[u]) if(v != fa) {
        dfs(v, u); ++son;
    }
    if(!son) {
        for(int i = 1; i <= n; i++) pre[u][i] = i;
    } else {
        for(int i = 1; i <= n; i++) res[i] = 1;
        for(auto v : g[u]) if(v != fa) {
            for(int i = 1; i <= n; i++) res[i] = 1ll * res[i] * pre[v][i] % MOD;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++) pre[u][i] = (pre[u][i - 1] + res[i]) % MOD;
    }
}
 
struct Lagrange {
    static const int SIZE = 3005;
    ll f[SIZE], fac[SIZE], inv[SIZE], pre[SIZE], suf[SIZE];
    int n;
    inline void add(ll &x, int y) {
        x += y;
        if(x >= MOD) x -= MOD;
    }
    void init(int _n) {
        n = _n;
        fac[0] = 1;
        for (int i = 1; i < SIZE; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
        inv[SIZE - 1] = qpow(fac[SIZE - 1], MOD - 2);
        for (int i = SIZE - 1; i >= 1; --i) inv[i - 1] = inv[i] * i % MOD;
        f[0] = 0;
    }
    ll calc(ll x) {
        if (x <= n) return f[x];
        pre[0] = x % MOD;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) pre[i] = pre[i - 1] * ((x - i) % MOD) % MOD;
        suf[n] = (x - n) % MOD;
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) suf[i] = suf[i + 1] * ((x - i) % MOD) % MOD;
        ll res = 0;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            ll tmp = f[i] * inv[n - i] % MOD * inv[i] % MOD;
            if (i) tmp = tmp * pre[i - 1] % MOD;
            if (i < n) tmp = tmp * suf[i + 1] % MOD;
            if ((n - i) & 1) tmp = MOD - tmp;
            add(res, tmp);
        }
        return res;
    }
}lagrange;
 
void run(){
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        int x; cin >> x;
        g[i].push_back(x);   
        g[x].push_back(i);
    }
    lagrange.init(n);
    dfs(1, 0);
    for(int i = 1; i <= n; i++) lagrange.f[i] = pre[1][i];
    int ans = lagrange.calc(D);
    cout << ans;
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    while(cin >> n >> D) run();
    return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/heyuhhh/p/11897059.html