LG4781 【模板】拉格朗日插值

题意

给定$n$个点$(x_i,y_i)$，请你确定这个多项式，并将$k$代入求值

求出的值对$998244353$取模

思路

学习了一下拉格朗日插值法(最菜的那种),其实还是挺好懂的
按照朴素思路，我们是构造一个矩阵，然后高斯消元法$O(n^3)$,妥妥的$TLE$
那么
拉格朗日插值法的思路很简单，按照题目样例一给的三个点：

1 4
2 9
3 16

我们假设有以下$3$ 个函数：

$G_1(x)=(x-2)(x-3)$
$G_2(x)=(x-1)(x-3)$
$G_3(x)=(x-1)(x-2)$

因此，显然有
$G_1(2)=G_1(3)=0\ ,\ G_2(1)=G_2(3)=0\ ,\ G_3(1)=G_3(2)=0$
所以我们需要的原函数可以写为：
$f(x)=A_1G_1(x)+A_2G_2(x)+A_3G_3(x) $
那就很显然有
\[ \left\{\begin{aligned} \\f(1)=A_1G_1(1)+A_2\times0+A_3\times 0=A_1G_1(1) \\f(2)=A_1\times 0+A_2G_2(2)+A_3\times 0=A_2G_2(2) \\f(3)=A_1\times 0+A_2\times 0+A_3G_3(3)=A_3G_3(3) \end{aligned} \right. \]
所以把点值回带就能算$A$的值

总结一下并推广到其他情况,我们先构造了
$G_i(x)=\prod_{j=1\&j\neq i}^n(x-x_j)$
因为 \[A_i=\frac{y_i}{G_i(x_i)}\]

倒代入点的坐标得：
\[f(k)=\sum_{i=1}^n A_i G_i(k)\]
\[=\sum\frac{y_i}{G_i(x_i)}*G_i(k)\]
公式整理得：

\[f(x)=\sum_{i=1}^{n} y_i\times(\prod_{j\neq i }\frac{x-x_j}{x_i-x_j})\]

然后代码实现$O(n^2)$就非常简单了,注意逆元可以乘起来求一次,不需要每次求

#include <bits/stdc++.h>
const int N=2005; 
int n,k,x[N],y[N],ans; 
const int mu=998244353;
int ksm(int x,int y){
    int ans=1;
    for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mu)
        if (y&1) ans=1ll*ans*x%mu;
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int t=1,t2=1;
        for (int j=1;j<=n;j++){
            if (j==i) continue;
            t=1ll*t*(k-x[j])%mu;
            t2=1ll*t2*(x[i]-x[j])%mu;
        }
        ans=(ans+t*1ll*y[i]%mu*ksm(t2,mu-2))%mu;
    }
    printf("%d\n",(ans+mu)%mu);
}

后记

多项式一窍不通,以后要努力啊

参考

JustinRochester大佬

原文地址：https://www.cnblogs.com/flyfeather6/p/11690307.html