「CSPS 2019 十一」数据结构

栈与队列

单调栈，单调队列，优先队列。

蚯蚓

Description

给你一堆数，有 $n$ 个，并对他们操作 $m$ 次。每次取出最大的一个数 $x$，称之为母数。并将 $x$ 分割成左端数 $[x \times p]$ 和右端数 $x-[p \times x]$，并把这两个数放回数堆中，其余数均增加 $q$ 。$p$ 固定为 $(0,1)$ 的有理数。要求输出每次操作的数x和m次操作后所有数的和。

Solution

对于 $85% $ 的数据，是可以用优先队列搞的。我们用优先队列维护所有蚯蚓的长度，每次取出长度最长的蚯蚓，将其切成两半并丢回队列。有一个问题是如何让其他蚯蚓的长度增加 $q$ 呢？可以记录蚯蚓整体增加的长度，对被切成两半的蚯蚓，将其长度 $-q$ 即可。

对于 $100\%$ 的数据，数据范围不允许带 $log$，但是找规律可以发现一个隐藏的单调性，先切成两半的蚯蚓的一半一定别后切成两半的蚯蚓的对应一半长。所以可以用三个队列分别维护没有被切的蚯蚓，被切成 $[x \times p]$ 的蚯蚓，和被切成 $x- [p \times x]$ 的蚯蚓，每次选出三个队列中最大的蚯蚓切一下再丢回对应队列中即可。

永恒的契约

Description

有 $n$ 块石头，排成一个环，第 $i$ 块石头高度 $a_i$，两块不同的石头 $i,j$ 能够互相看到，当且仅当它们在环上的两条路径中有至少一条路径上，除了两个端点，路径上石头高度都不大于 $min⁡(a_i,a_j)$。求有多少对石头能互相看到。

Solution

首先考虑一个子问题，将原问题放在一条链上，且所有 $a_i$ 都不相同。如果我们能处理出两个数组 $L$ 和 $R$，$L_i$ 表示 $i$ 左边第一个比它大的数，$R_i$ 表示 $i$ 右边第一个比它大的数。那么只需线性扫一遍，如果一个数前驱计数器 $+1$，有后继计数器 $+1$ 就可以了。那么问题在于如何求这两个数组呢？$O(n^2)$ 暴力是会超时的，我们考虑用单调栈来搞定。维护一个单调递减的单调栈，从前往后遍历 $a$。假如当前遍历到了 $a_i$，栈顶元素为 $a_j$。如果 $a_i>a_j$，就将 $a_j$ 弹出，一直到 $a_i < a_j$ 时，将 $a_i$ 压入栈并记录 $L_i = a_j$。同理，我们从后往前枚举，就可以求出 $R$。

将子问题扩展到 $a_i$ 有相同的情况，若 $a_i = a_j$，$(i,j)$ 可以互相看到，我们可以记录一个 $sum$，$sum_i$ 表示$[i,R_i - 1]$ 有多少个数 $=a_i$，显然对于相等的情况我们不需要分出前驱和后继。进一步地，我们考虑将子问题扩展到环上，我们要求一个点，从这个点把环切成两半，但是这样会让我们的答案个数减少，所以我们还要用各种统计把答案加回来，现在选择哪个点切开最好呢？显然是切开最大的数，有多个的话切开任意一个。为什么？显而易见，除了 $(i,j)$ 中至少有一个最大数，没有任何一个其他的 $(i,j)$ 能通过这个最大数互相看到。所以最后我们 $O(n)$ 扫一遍看看有多少个数可以和最大值互相看到就可以了。

并查集

路径压缩，按秩合并，带权并查集。

食物链

Description

动物王国中有三类动物 $A,B,C$，$A$ 吃 $B$， $B$ 吃 $C$，$C$ 吃 $A$。现有 $N$ 个动物，以 $1 \sim N$ 编号。每个动物都是 $A,B,C$ 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。

一个人按顺序说了 $K$ 句话，第一种说法是 1 X Y，表示 $X$ 和 $Y$ 是同类。第二种说法是 2 X Y，表示 $X$吃$Y$。但这 $K$ 句话真假不明，当一句话满足下列任一条件，这句话就是假话，否则就是真话。

当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
当前的话中 $X$ 或 $Y$ 比 $N$ 大，或当前的话表示X吃X，就是假话。

求假话的总数。

Solution

并查集能维护连通性、传递性。比如朋友的朋友是朋友，朋友的敌人是敌人。但是，维护敌人的敌人是朋友就很难维护了，所以就有种类并查集的诞生。这道题有三个物种，于是我们给并查集开三倍的空间。对于每种生物，第一倍空间储存同类，第二倍储存猎物，第三倍储存天敌，我们不能确定每种生物是 $A$ 还是 $B$ 还是 $C$，知道生物的相对关系就够了。

讨论第一种话，$X$ 与 $Y$ 是同类，可以转换成 $X$ 不吃 $Y$ 且 $Y$ 不吃 $X$。如果有一点不满足，那么就是谎言。如果都满足，那么 $X$ 的同类都是 $Y$ 的同类，$X$ 的天敌都是 $Y$ 的天敌，$X$ 的猎物都是 $Y$ 的猎物。再讨论第二种话，$X$ 吃 $Y$，可以转换成 $X$ 与 $Y$ 不是同类且 $Y$ 不吃 $X$。如果有一点不满足，那么就是谎言。如皋港都满足，那么 $X$ 的同类是 $Y$ 的天敌，$X$ 的天敌是 $Y$ 的猎物，$X$ 的猎物是 $Y$ 的同类。

线段树和树状数组

线段树合并，线段树懒标记，线段树维护。

树状数组求逆序对，最长单调子序列。

权值线段树，主席树。

公路建设

Description

有 $n$ 个城市，编号依次为 $1$ 到 $n$，它们之间计划修建 $m$ 条双向道路，其中修建第 $i$ 条道路的费用为 $c_i$。有 $q$ 次询问，每次询问选定一个区间 $[l, r]$ ，仅使用编号在该区间内的道路。他希望选择一些道路去修建，使得连通块的个数尽量少，同时，他不喜欢修建多余的道路，因此每个连通块都可以看成一棵树的结构。计算最小的费用。

Solution

先考虑暴力做法，就是将区间内的边扔进一个数组去跑 Kruskal。但是这个题的 $n$ 极小，这意味着我们可以用线段树维护跑 Kruskal 可能用到的边，为 $O((M + q)NlogM)$。

Kinoman

Description

有一个长度为 $n$ 的序列 $f,f_i \in 1 \sim m$，有一个长度为 $m$ 的价值序列 $w$ 。选择一个区间 $[l,r]$ 获得的价值是
\[ \sum_{i=l}^r w_{f_i} \times [count(f_i)=1] \]
问价值最大的区间的价值。

Solution

预处理出每个数在序列 $f$ 中第一次的位置，和 $f_i$ 在 $f$ 中下一个出现的位置 $nxt$。用线段树维护每个位置作为右端点的答案。首先预处理出以 $1$ 为左端点的答案。当 $l + 1$ 时，$[l, nxt_i - 1]$ 间答案 $-w_{f_l}$。而 $[nxt_i, nxt_{nxt_i} - 1]$ 间答案 $+w_{f_i}$。如果 $nxt$ 不存在，可以看作是 $n + 1$。然后每次更新最大值。

练习题

Description

给定一棵 $N$ 个节点的树, 每个点 $i$ 有权值 $a_i$。有 $Q$ 个询问, 对于询问 $x,y,k$ , 分别输出树上从 $x$ 到 $y$ 的路径中, 权值小于 / 等于 / 大于 $k$ 的点的数目。强制在线。

Solution

这是对树的查询，我们可以通过求 $lca$ 转换成对一条链的查询。套路地，对于一个点 $x$，我们维护一个权值线段树以维护一个桶 $b$，对于每一个在根到 $x$ 路径上的点 $y$，令 $b_{a_y}++$。当然，我们不能对每一个点重新建立一棵线段树，这个线段树要支持单点修改和区间求和，区间求和求的是前缀和。我们可以先 dfs 一遍原来的树，在 dfs 的过程中建立主席树。

Mex

Description

有一个长度为 $n$ 的数组 $a_{1 \sim n}$。$m$ 次询问，每次询问一个区间内最小没有出现过的自然数。即求区间 mex。强制在线。

Solution

考虑建立权值线段树，维护每一个权值在原数组中最后一次出现的下标。对于查询操作 $[l,r]$ ，可以取出右端点所对应的主席树，并在树上二分查找下标小于 $l$ 的最小权值即为答案。虽然 $a_i$ 非常大，显然答案不会超过 $n$，所以不用离散化。

咕咕。

原文地址：https://www.cnblogs.com/lyfoi/p/11620443.html