数论基础（更新中）

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入门知识

本单元难度$\le$小学六年级数学。

1.整数除法

除法是四则运算运算之一，作为乘法的逆运算。已知积与其中一个因数求另一因数的运算叫做除法.
整数除法常有如下表达：
$$a \div b = c \cdots d$$

一般地，我们称 a 为被除数，b 为除数，c 为商，d 为余数.

亦可简单推出如下逆运算：
$$b \times c + d = a$$

2.整除

如果 a 能把 b 除尽，也就是$a \div b$余数为0，则我们称 a 整除 b ，也称 b 被 a 整除.
记为：
$$a|b$$
中间的竖杠表示为整除符号，读作：a 整除 b.

数论之路，皆由“整除”始。

3.整除的性质

• 自反性
  对于任意n，有$n|n$.

• 传递性
  对于任意 $a|b,b|c$，都有$a|c$.

4.约数与倍数

如果$a|b$，那么称 a 是 b 的约数，b 是 a 的倍数。同时称，a 是 b 的因子（因数）。

因此，我们有一个重要推论：

对于任何整数$n \ge 2$，$n$至少有两个因子：1和 $n$（它本身）.
我们将这两个因子称为$n$的平凡因子.

quiz1.如何计算$[1, n]$中每个数因数的个数？

int p_num[MAXN];

for(int i = 1; i <= n; i ++)
    for(int j = i; j <= n; j += i)
        p_num[j] ++;
    
//O(nlogn)

5.质数

一个整数不存在非平凡因子，我们就称它为质数（亦称为素数）.
不是质数的整数我们称它为合数，即合数有大于等于一个非平凡因子.

例如：
2 只存在两个平凡因子，即1 和2，不存在非平凡因子.2 是质数.
5 只存在两个平凡因子，即1 和5，不存在费平凡因子.5 是质数.
4 存在非平凡因子 2. 4 不是质数，是合数.
1e9+7 不存在非平凡因子.1e9+7 是质数.

数论都是围绕质数概念所展开，理解质数是走进数论大厦的第一步。

原文地址：https://www.cnblogs.com/satchelpp/p/11526773.html