题面

Description

火神最爱的就是吃鱼了，所以某一天他来到了一个池塘边捕鱼。池塘可以看成一个二维的平面，而他的渔网可以看成一个与坐标轴平行的矩形。

池塘里的鱼不停地在水中游动，可以看成一些点。有的时候会有鱼游进渔网，有的时候也会有鱼游出渔网。所以火神不知道什么时候收网才可以抓住最多的鱼，现在他寻求你的帮助。

他对池塘里的每条鱼都给予了一个标号，分别从\(1\)到\(n\)标号，\(n\)表示池塘里鱼的总数。鱼的游动可以概括为两个动作：

\(1\ l\ r\ d\) : 表示标号在\([l,r]\)这个区间内的鱼向\(x\)轴正方向游动了\(d\)个单位长度。

\(2\ l\ r\ d\)：表示标号在\([l,r]\)这个区间内的鱼向\(y\)轴正方向游动了\(d\)个单位长度。

在某些时刻，火神会询问你现在有多少条鱼在渔网内(边界上的也算)，请你来帮助他吧。

Input

第一行包含一个整数\(T\)，表示测试数据组数。对于每组测试数据：

第一行包含一个整数\(n\)，表示鱼的总数。

第二行包含四个整数\(x_1\),\(y_1\),\(x_2\),\(y_2\)，表示渔网的左下角坐标和右上角坐标。

接下来\(n\)行，每行两个整数\(x_i\),\(y_i\)，表示标号为\(i\)的鱼初始时刻的坐标。

再接下来一行包含一个整数\(m\)，表示后面的事件数目。

再接下来的\(m\)行，每行为以下三种类型的一种：

\(1\ l\ r\ d\) : 表示标号在\([l,r]\)这个区间内的鱼向\(x\)轴正方向游动了\(d\)个单位长度。

\(2\ l\ r\ d\)：表示标号在\([l,r]\)这个区间内的鱼向\(y\)轴正方向游动了\(d\)个单位长度。

\(3\ l\ r\) : 表示询问现在标号在\([l,r]\)这个区间内的鱼有多少在渔网内。

Output

对于每组数据的每个询问，输出一个整数表示对应的答案。

Sample Input

Sample Output

5
4

HINT

对于\(30\%\)的数据满足：\(1≤n,m≤1000\)

对于\(100\%\)的数据满足：\(1≤T≤10\)，\(1≤n,m≤30000\)，\(1≤l≤r≤n\)，\(1≤d≤10^9\)，\(x_1≤x_2\)，\(y_1≤y_2\)。保证任意时刻所有涉及的坐标值在\([−10^9,10^9]\)范围内。

题解

这道题的关键在于审题。我们看到每条鱼只可能向\(x\)轴正方向或\(y\)轴正方向游，而且游的距离\(d\)为一正数，就可得鱼的坐标都是单调变化的，所以一旦某条鱼的\(x\)坐标大于渔网的右上角的\(x\)坐标，或\(y\)坐标大于渔网的右上角的\(y\)坐标，它就永远游不进渔网。所以我们用一颗线段树维护所有鱼的\(x\)坐标，一颗线段树维护所有鱼的\(y\)坐标，并把鱼的位置分为三个状态：（设鱼的坐标为\((x,y)\)，渔网左下角坐标为\((x_1,y_1)\)，渔网右上角坐标为\((x_2,y_2)\)，下面的都如此）

\(x<x_1\)或\(y<y_1\)，即对于横坐标或纵坐标来言，它可能游到渔网但它不在渔网内。
\(x_1<x≤x_2\)或\(y_1<y≤y_2\)，即对于横坐标或纵坐标来言，它在渔网内。
\(x>x_2\)或\(y>y_2\)，即对于横坐标或纵坐标来言，它不可能游到渔网。

那么我们对于\(x\)坐标线段树中的某个叶子节点，设它所代表的是第\(k\)条鱼，我们储存这条鱼到下一个状态的\(x\)坐标距离。那么：

如果\(x<x_1\)，它就可能到达第二个状态，所以它到下一个状态的\(x\)坐标距离为\(x_1-x\)。
如果 \(x_1<x≤x_2\)，它就可能到达第三个状态，所以它到下一个状态的\(x\)坐标距离为\(x_2-x\)。
如果\(x>x_2\)，它就永远无法到达下一个状态，因为没有下一个状态，所以它到下一个状态的\(x\)坐标距离为\(\infty\)。

然后，对于\(x\)坐标线段树中的某个非叶子节点，设它所代表的是第\(l\sim r\)条鱼，我们就储存这个区间里所有鱼到下一个状态的最小值\(minn[u]\)。

然后对于每一次的修改操作，我们找到对应的树，这里以修改\(x\)坐标为例，那我们就对\(x\)树进行修改。我们先按普通线段树的方法找到对应区间，然后由于这个区间内的所有鱼都往\(x\)轴正方向游了\(d\)个单位，所以它们对应的距离下一个状态的\(x\)坐标距离会减少\(d\)，所以\(minn[u]\)要减去\(d\)。这时，如果\(minn[u]>0\)，就说明没有鱼进入下一个状态。否则，就找到是哪些鱼进入了下一个状态并对它进行修改，寻找过程就是访问左右儿子的\(minn\)值，如果某个儿子的\(minn≤0\)，那么就递归继续寻找。最后如果递归寻找到了叶子节点，就修改对应坐标并更新距离就好了。

然后对于每一次对某个叶子节点的坐标修改，看它当前在不在渔网内（同时检验\(x\)、\(y\)），若在并且修改前不在，就在树状数组的对应位置加\(1\)。

对于\(y\)树的各种操作也是如此。

最后询问的时候直接查询树状数组中的\([l,r]\)区间和就好了。

最后的代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
 
#define N 30010
#define INF 0x7fffffff
 
using namespace std;
 
struct Point//作者比较喜欢用结构体存平面上的点，有些喜欢用数组的人别介意
{
    int x,y;
    void read(){scanf("%d%d",&x,&y);}
    int get(int opt){return opt?y:x;}//get是根据opt取当前这条鱼对应的x或y坐标
    void add(int opt,int val){if(opt) y+=val;else x+=val;}//add是根据opt为当前这条鱼对应的x或y坐标加上val
}fish[N],st,ed;
 
int T,n,m,c[N]; 
bool innet[N];//记录每一条鱼在不在网内的

//树状数组部分:start
int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}
 
void add(int x,int y)
{
    for(;x<=n;x+=lowbit(x))c[x]+=y;
}
 
int sum(int x)
{
    int ans=0;
    for(;x;x-=lowbit(x))ans+=c[x];
    return ans;
}
//end
 
bool check(Point p)//判断某个点是否在渔网内
{
    return st.x<=p.x&&p.x<=ed.x&&st.y<=p.y&&p.y<=ed.y;
}
 
struct Segment_Tree
{
    int opt,lazy[N<<2],minn[N<<2];//opt是用来记录这棵线段树是x树还是y树
    void change(int x,int k)//修改
    {
        if(innet[x])
            add(x,-innet[x]);//先减掉原来的
        if((innet[x]=check(fish[x])))
            add(x,innet[x]);//再加上更新后的
        int now=fish[x].get(opt),x1=st.get(opt),x2=ed.get(opt);
        if(now<x1)//第一种状态
            return void(minn[k]=x1-now);
        if(now<=x2)//第二种状态
            return void(minn[k]=x2-now);
        minn[k]=INF;//第三种状态
    }
    void up(int k)
    {
        minn[k]=min(minn[k<<1],minn[k<<1|1]);
    }
    void down(int k)
    {
        if(lazy[k])//懒标记
        {
            lazy[k<<1]+=lazy[k],lazy[k<<1|1]+=lazy[k];
            minn[k<<1]-=lazy[k],minn[k<<1|1]-=lazy[k];
            lazy[k]=0;
        }
    }
    void build(int k,int l,int r)//建树
    {
        lazy[k]=0;
        if(l==r)
        {
            change(l,k);
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        build(k<<1,l,mid);
        build(k<<1|1,mid+1,r);
        up(k);
    }
    void find(int k,int l,int r)//查找
    {
        if(l==r)
        {
            fish[l].add(opt,lazy[k]);
            lazy[k]=0;
            change(l,k);
            return;
        }
        down(k);
        int mid=(l+r)>>1;
        if(minn[k<<1]<=0)find(k<<1,l,mid);
        if(minn[k<<1|1]<=0)find(k<<1|1,mid+1,r);
        up(k);
    }
    void update(int k,int l,int r,int ql,int qr,int val)//更改
    {
        if(ql<=l&&r<=qr)
        {
            lazy[k]+=val;
            minn[k]-=val;
            if(minn[k]<=0) 
                find(k,l,r);
            return;
        }
        down(k);
        int mid=(l+r)>>1;
        if(ql<=mid)update(k<<1,l,mid,ql,qr,val);
        if(qr>mid)update(k<<1|1,mid+1,r,ql,qr,val);
        up(k);
    }
}treex,treey;
 
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        memset(c,0,sizeof(c));
        memset(innet,0,sizeof(innet));
        scanf("%d",&n);
        st.read(),ed.read();
        treex.opt=0,treey.opt=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            fish[i].read();
        treex.build(1,1,n);
        treey.build(1,1,n);
        scanf("%d",&m);
        while(m--)
        {
            int opt;
            scanf("%d",&opt);
            if(opt==1)
            {
                int l,r,d;
                scanf("%d%d%d",&l,&r,&d);
                treex.update(1,1,n,l,r,d);
            }
            if(opt==2)
            {
                int l,r,d;
                scanf("%d%d%d",&l,&r,&d);
                treey.update(1,1,n,l,r,d);
            }
            if(opt==3)
            {
                int l,r;
                scanf("%d%d",&l,&r);
                printf("%d\n",sum(r)-sum(l-1));
            }
        }
    }
    return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/ez-lcw/p/11491340.html

【XSY2569】火神的鱼（线段树+树状数组）

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