每日一题_190907

题目: 记数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\), 已知 \(2S_n-a_n+1=n(a_n+1),\) 且 \(a_2=5.\) 若 \(m>\dfrac{S_n}{2^n},\) 则实数 \(m\) 的取值范围为 ?

答案: \((2,+\infty)\).

解析: 由题 \[ \begin{cases} & 2S_n-a_n+1=n(a_n+1) , \\ & 2S_{n+1}-a_{n+1}+1=(n+1)(a_{n+1}+1), \end{cases} \]
两式作差并整理可得
\[na_{n+1}-(n+1)a_n+1=0. \]
两边同除以 \(n(n+1)\), 可得
\[ \dfrac{a_{n+1}}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{a_n}{n}-\dfrac{1}{n}. \]
从而
\[ \dfrac{a_n}{n}-\dfrac 1n=\cdots=\dfrac{a_2}{2}-\dfrac 12=2. \]
于是 \(a_n=2n+1,n\in\mathbb{N}^\ast\), 从而
\[ S_n=n^2+2n,n\in\mathbb{N}^\ast. \]
接下来通过研究数列 \(\left\{ \dfrac{S_n}{2^n} \right\}\) 的单调性求出其最大值. 由于
\[ \dfrac{S_{n+1}}{2^{n+1}}-\dfrac{S_n}{2^n}=\dfrac{3-n^2}{2^{n+1}}, n\in\mathbb{N}^\ast. \]
所以数列 \(\left\{ \dfrac{S_n}{2^n} \right\}\) 在 \(n=2\) 时取得最大值, 从而所求 \(m\) 的取值范围为 \((2,+\infty)\).

原文地址：https://www.cnblogs.com/Math521/p/11479825.html