8.29 活着的意义

题意

给一张\(n\)个点\(m\)条边的无向图，有一个对于这个无向图的操作，即去除图中的一个生成森林（即所有连通块中生成树的集合）。不断对该无向图进行操作直到该图中的边全部被删除。对于每一条边，输出他是在第几次被删除的。

如果有多种方案，输出其中一种即可

解法

首先我们有一个很好想的\(O(MN)\)暴力

遍历每一条边，每次进行生成树操作：具体来说，就是每次开一个并查集，如果该边的两个端点不在同一个连通块中，则把它们联通，并且把该边从边集中删除；否则跳过该边

考虑我们如何对暴力算法进行优化

如果我们开若干个并查集，每次对于一条边，如果在\(1\)号并查集中它的两端所连接的点在一个连通块内，我们就在\(2\)号并查集中进行插入，以此类推...

通过上述算法，我们可以求出每一次操作后形成的生成森林

但是我们会发现，这个算法和原来相比，不仅时间复杂度没有改观，空间复杂度反而变得更劣了

但是这个算法的思想却有一定的启发性

我们可以发现一个性质：对于一条边，如果它可以在第\(i\)号并查集中插入，那么它也一定可以在\(i+1...n\)号并查集中插入

这个可以用反证法证明，也可以意会理解一下

发现了这个性质以后，我们就可以二分出第一个可以插入的并查集编号了

这样时间复杂度由\(O(MN)\)优化到了\(O(MlogM)\)

但是空间复杂度仍然无法承受

此时我们可以用哈希表优化空间

我们把若干个并查集排在一起，可以看做一个若干行\(n\)列的矩阵

把每个矩阵的坐标\((x,y)\)映射成某个数

在操作的过程中我们最多插入\(2M\)个不同的点

所以并查集只需要开\(O(2M)\)的空间即可

还有一个骚操作：用指针动态开点？？！但是不太会用指针，就先咕着吧

代码

原文地址：https://www.cnblogs.com/VeniVidiVici/p/11432037.html