2019暑假图论总结

图论学习从入坑就开始了，到现在已经很久了，值得总结一下

梦开始的地方——最短路

最短路题型的特点就是既可以简单又可以复杂

—— 鲁迅

众所周知，最短路常用算法有三种：Floyd，SPFA，dijkstra，每一种在不同情形下都有不同的作用，其中，①Floyd处理多源最短路问题，复杂度为\(O(n^3)\)，②SPFA处理（可以）有负权边的单源最短路，\(O(km\)~\(nm)\)，且可以判负环，③dijkstra处理无负权边的单源最短路问题，堆优化复杂度为\(O((n+m)logn)\)

话不多说，上题目

1.【模板】单源最短路径（标准版）

题意：RT

做法：卡SPFA的优秀代表，这告诉我们尽量不要用SPFA，用堆优化的dijkstra即可

Q：如果有负权边怎么跑dijkstra？（假设答案不会炸）

A：每条边加上一个权值，然后记录下最短路经过的边数，ans减掉就是最短路。如果边权都很小（比如1e5），可以加上1e10之类的数，然后取模即可

2.单元最长路径（保证一定存在）

题意：RT

做法：每条边取相反数，然后当成单源最短路即可

3.[JLOI2011]飞行路线

题意：给一张无向边带权的图，求从1号点到n号点的最短路，可以使得k条路的边权变为0 \((k\leq 10)\),

做法：最短路的套路之一，分层图。由于k较小，将原图复制k次，分成k+1张图，分别表示当前剩余的免费次数，原图上的一条无向边对应相邻的图与图之间用0边连接，表示使用一次免费次数，每一层的n节点都要连接汇点T，从1号点出发跑最短路，dis[T]即为答案

4.[NOIP2017]逛公园

题意：给一张有向边带权图，求1~n的路径中长度\(\leq\)最短路+k的路径条数\((k\leq50)\)，有无数条输出\(-1\)

做法：由于最短路和DP的血缘很近，所以经常会带有DP的思路（或者就是一道DP题）。设\(f[ i ][ j ]\)表示\(dis(1,i)+mindis(i,n)<=mindis(1,n)+j\)的路径条数，如果走了一条边，边权为w，到达v点，则有
\(f[ i ][ j ]->f[ v ][ j+w+mindis(v,n)-mindis(i,n) ]\) ,由于原图有环，所以用上面的方法分层后拓扑排序即可，如果有0环，这个环一定没有入过队列，所以如果有点没有入队，且这个点可以到达（可以到达的意思是，存在一条满足题意的1~n的路径，且这条路径经过这个点），就输出\(-1\)

本题也可以用记忆化搜索完成，原理相同

原文地址：https://www.cnblogs.com/Chtholly/p/11381830.html