[APIO2019] [LOJ 3146] 路灯 (cdq分治或树状数组套线段树)

时间:2019-08-22
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[APIO2019] [LOJ 3146] 路灯 (cdq分治或树状数组套线段树)

题面

分析

首先把一组询问(x,y)看成二维平面上的一个点,我们想办法用数据结构维护这个二维平面(注意根据题意这里的y要-1,这样问题变成[x,y]区间是否是由连续的一段1组成)

如果我们改变第x个灯的状态,那么只有原来满足全1的条件,且现在不满足全1条件的区间受到影响。设包含x的最大的连续1的区间为[l,r],则左端点在[l,x],右端点在[x,r]的询问会受到影响。转化到二维平面上,就变成x坐标在[l,x]之内,y坐标在[x,r]之间的点会受到影响。即左下角为(l,x),右上角为(x,r)的矩形内的点

然后考虑每次修改对答案的影响。假如一个灯在t1时刻被点亮,t2时刻被熄灭,则它对答案的贡献为\(t_2-t_1\)。因此,如果时间为i时的修改使得第x个灯被点亮,我们就把左下角为(l,x),右上角为(x,r)的矩形内的点的值-i。如果时间为i时的修改使得第x个灯被熄灭,我们就把左下角为(l,x),右上角为(x,r)的矩形内的点的值+i

对于时间为i的询问(x,y),我们查询点(x,y)的值v,如果当前不能从x到y,那就直接输出v.否则,就输出i+v.因为只有某个灯熄灭的时候我们才更新它的贡献,如果询问时没熄灭,就要加上这些贡献。

这样,我们就把问题转化成二维的区间修改,单点查询问题,可以用标记永久化的二维线段树解决,但是代码实现难度较大。我们可以差分,把问题转化为二维的单点修改,区间查询问题

如果把左下角为 \((x_a,y_a)\),右上角\((x_b,y_b)\)的闭区间都加一个 v,那么其实就是:\((x_a,y_a)\)\(加v,\)
\((x_a,y_b+1)\)减 v,\((x_b+1,y_a)\)减 v,\((x_b+1,y_b+1)\)加 v.查询\((x,y)\)就查询(1,1)到\((x,y)\)的矩形内的点的权值和

这是一个经典的cdq分治问题,方法类似:[BZOJ 2683] 简单题 (CDQ分治)

也可以用树状数组维护第一维,动态开点的线段树维护第二维在线求解

时间复杂度均为\(O(n\log^2 n)\)

找全1的区间用set维护0的位置,二分查找出左边的第一个0和右边的第一个0的位置即可

代码

cdq分治:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#define maxn 300000 
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
int a[maxn+5];
set<int>S;//存储0的位置 

int tot;
struct node{
    int a;
    int b;
    int c;
    int type;
    int val;
    int id;
    ll ans;
    node(){
        
    }
    node(int _a,int _b,int _c,int _type,int _val){
        a=_a;
        b=_b;
        c=_c;
        type=_type;
        val=id=ans=0;
        if(_type==2) id=_val;
        else val=_val;
    }
    void print(){
        if(type==1){
            printf("update tim=%d  (%d,%d) val=%d\n",a,b,c,val);
        }else{
            printf("query tim=%d (%d,%d)  id=%d\n",a,b,c,id);
        }
    }
}q[maxn*4+5];
int cmpa(node p,node q){
    if(p.a==q.a){
        if(p.b==q.b) return p.c<q.c;
        else return p.b<q.b;
    }else return p.a<q.a;
}
int cmpb(node p,node q){
    if(p.b==q.b) return p.c<q.c;
    else return p.b<q.b;
}


struct fenwick_tree{
    ll c[maxn+5];
    inline int lowbit(int x){
        return x&(-x);
    }
    inline void update(int pos,int val){
        for(int i=pos;i<=maxn;i+=lowbit(i)) c[i]+=val;
    }
    inline ll query(int pos){
        int ans=0;
        for(int i=pos;i>0;i-=lowbit(i)) ans+=c[i];
        return ans; 
    }
}T;
node tmp[maxn*4+5];
void cdq_divide(ll l,ll r){
    int mid=(l+r)>>1;
    if(l==r) return;
    cdq_divide(l,mid);
    cdq_divide(mid+1,r);
    int ptr=l-1;
    for(int i=mid+1;i<=r;i++){
        while(ptr<mid&&q[ptr+1].b<=q[i].b){
            ptr++;
            if(q[ptr].type==1) T.update(q[ptr].c,q[ptr].val);
        }
        if(q[i].type==2) q[i].ans+=T.query(q[i].c);
    } 
    for(int i=l;i<=ptr;i++) if(q[i].type==1) T.update(q[i].c,-q[i].val);
    int pl=l,pr=mid+1;
    int num=l-1;
    while(pl<=mid&&pr<=r){
        if(cmpb(q[pl],q[pr])) tmp[++num]=q[pl++];
        else tmp[++num]=q[pr++]; 
    }
    while(pl<=mid) tmp[++num]=q[pl++];
    while(pr<=r) tmp[++num]=q[pr++];
    for(int i=l;i<=r;i++) q[i]=tmp[i]; 
} 

ll ans[maxn+5];
int main(){
    char cmd[10];
    int l,r;
    int x;
    int cntq=0;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%1d",&a[i]); 
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]==0) S.insert(i);
    }
    S.insert(0);
    S.insert(n+1);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%s",cmd);
        if(cmd[0]=='q'){
            cntq++;
            scanf("%d %d",&l,&r);
            r--;
            q[++tot]=node(i,l,r,2,cntq);
            set<int>::iterator it1=S.upper_bound(l);
            if(*it1>r&&a[l]==1&&a[r]==1){
                ans[cntq]+=i;
//              printf("(%d,%d) + %d\n",l,r,i);
            }
        }else{
            scanf("%d",&x);
            a[x]^=1;
            if(a[x]==1){//亮起 
                set<int>::iterator pre=S.lower_bound(x);
                pre--; 
                set<int>::iterator nex=S.upper_bound(x);
                l=*pre+1;
                r=*nex-1;
//              printf("for x in [%d,%d], y in [%d,%d],+%d\n",l,x,x,r,-i);
                q[++tot]=node(i,l,x,1,-i);
                q[++tot]=node(i,l,r+1,1,i);
                q[++tot]=node(i,x+1,x,1,i);
                q[++tot]=node(i,x+1,r+1,1,-i);
                S.erase(x); 
            }else{//熄灭 
                set<int>::iterator pre=S.lower_bound(x);
                pre--; 
                set<int>::iterator nex=S.upper_bound(x);
                l=*pre+1;
                r=*nex-1;
//              printf("for x in [%d,%d], y in [%d,%d],+%d\n",l,x,x,r,i);
                q[++tot]=node(i,l,x,1,i);
                q[++tot]=node(i,l,r+1,1,-i);
                q[++tot]=node(i,x+1,x,1,-i);
                q[++tot]=node(i,x+1,r+1,1,i);
                S.insert(x);
            }
        }   
    }
//  for(int i=1;i<=tot;i++) q[i].print(); 
    sort(q+1,q+1+tot,cmpa);
    cdq_divide(1,tot);
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        if(q[i].type==2) ans[q[i].id]+=q[i].ans;
    }
    for(int i=1;i<=cntq;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
}

树套树:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#define maxn 300000 
#define maxlogn 50
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
int a[maxn+5];
set<int>S;//存储0的位置 


struct dynamic_segment_tree{
#define lson(x) tree[x].ls
#define rson(x) tree[x].rs
    struct node{
        int ls;
        int rs;
        ll val;
    }tree[maxn*maxlogn+5];
    int ptr=0;
    void push_up(int x){
        tree[x].val=tree[lson(x)].val+tree[rson(x)].val;
    }
    void update(int &x,int upos,ll uval,int l,int r){
        if(!x) x=++ptr;
        if(l==r){
            tree[x].val+=uval;
            return;
        } 
        int mid=(l+r)>>1;
        if(upos<=mid) update(tree[x].ls,upos,uval,l,mid);
        else update(tree[x].rs,upos,uval,mid+1,r);
        push_up(x);
    }
    ll query(int x,int L,int R,int l,int r){
        if(x==0) return 0;
        if(L<=l&&R>=r) return tree[x].val;
        int mid=(l+r)>>1;
        ll ans=0;
        if(L<=mid) ans+=query(tree[x].ls,L,R,l,mid);
        if(R>mid) ans+=query(tree[x].rs,L,R,mid+1,r);
        return ans;
    }
}T1;
struct fenwick_tree{
    int root[maxn+5];
    inline int lowbit(int x){
        return x&(-x);
    }
    inline void update(int x,int y,ll val){
//      printf("(%d,%d) + %d\n",x,y,val);
        for(int i=x;i<=n+1;i+=lowbit(i)){
            T1.update(root[i],y,val,1,n+1);
        }
    }
    inline ll query(int x,int y){
        ll ans=0;
        for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
            ans+=T1.query(root[i],1,y,1,n+1);
        }
        return ans;
    }
}T2;


ll ans[maxn+5];
int main(){
    char cmd[10];
    int l,r;
    int x;
    int cntq=0;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%1d",&a[i]); 
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]==0) S.insert(i);
    }
    S.insert(0);
    S.insert(n+1);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%s",cmd);
        if(cmd[0]=='q'){
            cntq++;
            scanf("%d %d",&l,&r);
            r--;
            set<int>::iterator it1=S.upper_bound(l);
            if(*it1>r&&a[l]==1&&a[r]==1){
                printf("%lld\n",T2.query(l,r)+i);
            }else{
                printf("%lld\n",T2.query(l,r));
            }
        }else{
            scanf("%d",&x);
            a[x]^=1;
            if(a[x]==1){//亮起 
                set<int>::iterator pre=S.lower_bound(x);
                pre--; 
                set<int>::iterator nex=S.upper_bound(x);
                l=*pre+1;
                r=*nex-1;
//              printf("for x in [%d,%d], y in [%d,%d],+%d\n",l,x,x,r,-i);
                T2.update(l,x,-i);
                T2.update(l,r+1,i);
                T2.update(x+1,x,i);
                T2.update(x+1,r+1,-i);
                S.erase(x); 
            }else{//熄灭 
                set<int>::iterator pre=S.lower_bound(x);
                pre--; 
                set<int>::iterator nex=S.upper_bound(x);
                l=*pre+1;
                r=*nex-1;
                T2.update(l,x,i);
                T2.update(l,r+1,-i);
                T2.update(x+1,x,-i);
                T2.update(x+1,r+1,i);
//              printf("for x in [%d,%d], y in [%d,%d],+%d\n",l,x,x,r,i);
                S.insert(x);
            }
        }   
    }
}
/*
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*/ 

原文地址:https://www.cnblogs.com/birchtree/p/11395649.html