高等代数——同时合同对角化问题
同时合同对角化问题
Theorem:
设$A$是$n$阶正定实对称矩阵,$B$为同阶的实对称矩阵,则必存在可逆矩阵$C$,使得
\[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\]
其中$\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$为矩阵$A^{-1}B$的特征值.
Proof:
由于$A$为正定的,则存在可逆矩阵$P$,使得$P'AP=I_n$.由于矩阵$P'BP$为实对称矩阵,则存在正交矩阵$Q$,使得$Q'(P'BP)Q=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$.
令$C=PQ$,则满足$C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$.由于
\[C'(\lambda A-B)C=\lambda I_n-C'BC=diag\{\lambda-\lambda_1,\cdots,\lambda-\lambda_n\}\]
则$\lambda_i$为多项式$|\lambda A-B|$的根,又$A$可逆,则也为$|\lambda I_n-A^{-1}B|$的根.
利用上述Theorem证明几个例子:
Example 1:
设$A$为$n$阶正定实对称矩阵,$B$为同阶半正定实对称矩阵,则$|A+B|\geq |A|+|B|$,等号成立的充要条件是$B=O$.
Proof:
依Theorem知,存在可逆矩阵$C$,使得
\[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\]
由于$B$半正定,故$C'BC$也为半正定的,从而$\lambda_i\geq 0$. 由于
\[|C'||A+B||C|=|C'AC+C'BC|=(1+\lambda_1)\cdots (1+\lambda_n)
\geq 1+\lambda_1\cdots\lambda_n=|C'AC|+|C'BC|=|C'|(|A|+|B|)|C|\]
故有$|A+B|\geq |A|+|B|$.等号成立当且仅当所有的$\lambda_i=0$,当且仅当$B=O$.
Remark:
对上述例题可推广为:$A$为半正定矩阵.只需使用摄动法即可证明.
Example 2:
设$A,D$为方阵,$M=\left(\begin{array}{cc}
A & B\\
B' & D\end{array}\right)$为正定实对称矩阵,求证:
$|M|\leq |A||D|$,且等号当且仅当$B=O$时成立.
Proof:
由于$A$可逆,对$M$进行初合同变换:
\[\left(\begin{array}{cc}
A & B\\
B' & D\end{array}\right)\rightarrow
\left(\begin{array}{cc}
A & B\\
O & D-B'A^{-1}B\end{array}\right)\rightarrow
\left(\begin{array}{cc}
A & O\\
O & D-B'A^{-1}B\end{array}\right)\]
故$D-B'A^{-1}B$为正定矩阵.显然有
\[\left|\begin{array}{cc}
A & B\\
B' & D\end{array}\right|=|A||D-B'A^{-1}B|\]
由于$D=(D-B'A^{-1}B)+B'A^{-1}B$,又$B'A^{-1}B$为半正定矩阵.依上述Example 1知,
\[|D|\geq |D-B'A^{-1}B|+|B'A^{-1}B|\geq |D-B'A^{-1}B|\]
等号成立当且仅当$B'A^{-1}B=O$.设存在非异实矩阵$C$,使得$A^{-1}=C'C$,则$O=B'A^{-1}B=(CB)'(CB)$,取迹得$CB=O$.由于$C$ 非异,故$B=O$.从而等号成立当且仅当$B=O$.则结论得证.
Example 3:
设$A,B$均为$n$阶正定实对称矩阵,求证
\[|A+B|\geq 2^n|A|^{\dfrac{1}{2}}|B|^{\dfrac{1}{2}}\]
等号成立的充要条件是$A=B$.
Proof:
依Theorem知,存在可逆矩阵$C$,使得
\[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\]
由于$B$正定,则$C'BC$正定,从而$\lambda_i>0$.由于
\[|C'||A+B||C|=|C'AC+C'BC|=(1+\lambda_1)\cdots (1+\lambda_n)
\geq 2^n\sqrt{\lambda_1\cdots\lambda_n}=2^n|C'AC|^{\dfrac{1}{2}}|C'BC|^{\dfrac{1}{2}}
=|C'|(2^n|A|^{\dfrac{1}{2}}|B|^{\dfrac{1}{2}})|C|\]
故有$|A+B|\geq 2^n|A|^{\dfrac{1}{2}}|B|^{\dfrac{1}{2}}$.等号成立当且仅当所有的$\lambda_i=1$,当且仅当$A=B$.
Remark:
对上述例题可推广为:$A,B$为半正定矩阵.只需使用摄动法即可证明.
Example 4:
若$A,B$均为正定矩阵,且$A-B$为半正定矩阵,求证:$B^{-1}-A^{-1}$为半正定矩阵.
Proof:
依Theorem知,存在可逆矩阵$C$,使得
\[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\]
由于$B$正定,则$C'BC$正定,从而$\lambda_i>0$.由于
\[C'(A-B)C=diag\{1-\lambda_1,\cdots,1-\lambda_n\}\]
又$A-B$半正定,则$\lambda_I\leq 1$,从而$\lambda_i^{-1}\geq 1$.由于
\[C^{-1}A^{-1}(C')^{-1}=I_n,C^{-1}B^{-1}(C')^{-1}=diag\{\lambda_1^{-1},\cdots,\lambda_n^{-1}\}\]
则
\[C^{-1}(B^{-1}-A^{-1})(C^{-1})'=diag\{\lambda_1^{-1}-1,\cdots,\lambda_n^{-1}-1\}\]
显然为半正定矩阵,则$B^{-1}-A^{-1}$为半正定矩阵.
Example 5:
设$A,B$是$n$阶实对称矩阵,其中$A$正定且$B$与$A-B$均为半正定矩阵.求证:$|\lambda A-B|=0$的所有根全落在$[0,1]$中,且$|A|\geq |B|$.
Proof:
依Theorem知,存在可逆矩阵$C$,使得
\[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\]
其中$\lambda_i$为矩阵$A^{-1}B$的特征值,即为$|\lambda A-B|$ 的根.由于$B$半正定,则$C'BC$半正定,从而$\lambda_i\geq 0$.由于$A-B$半正定,则$C'(A-B)C=diag\{1-\lambda_1,\cdots,1-\lambda_n\}$半正定,即$\lambda_1\leq 1$.故$|\lambda A-B|$的所有根$\lambda_i$全落在$[0,1]$中.又$|A^{-1}B|=\lambda_1\cdots\lambda_n\leq 1$,故$|A|\geq |B|$.
Theorem:
设$A,B$为$n$阶半正定实对称矩阵,则存在可逆实矩阵$C$,使得
\[C'AC=diag\{1,\cdots,1,0\cdots,0\},C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_r,\lambda_{r+1},\cdots,\lambda_n\}\]
Proof:
由于$A$为半正定矩阵,则存在可逆矩阵$P$,使得$P'AP=\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
O & O\end{array}\right)$,且$P'BP=\left(\begin{array}{cc}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}\end{array}\right)$为半正定矩阵.依二次型理论知,$r(B_{21}B_{22})=r(B_{22})$.即$B_{21}$的所有列向量均可表示为$B_{22}$列向量的线性组合,则存在实矩阵$M$,使得$B_{21}=B_{22}M$.对矩阵$P'AP,P'BP$进行合同变换:
\[\left(\begin{array}{cc}
I_r & -M'\\
O & I_{n-r}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
-M' & I_{n-r}\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}
B_{11}-M'B_{22}M & O\\
O & B_{22}\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
I_r & -M'\\
O & I_{n-r}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
O & O\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
-M' & I_{n-r}\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
O & O\end{array}\right)\]
由于$B_{11}-M'B_{22}M$与$B_{22}$均为半正定矩阵,则存在正交矩阵$Q_1,Q_2$,使得
\[Q_1'(B_{11}-M'B_{22}M)Q_1=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_r\},
Q_2'B_{22}Q_2=diag\{\lambda_{r+1},\cdots,\lambda_n\}\]
令$C=P\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
-M' & I_{n-r}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
Q_1 & O\\
O & Q_2\end{array}\right)$,则$C$为实可逆矩阵,使得
\[C'AC=diag\{1,\cdots,1,0\cdots,0\},C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_r,\lambda_{r+1},\cdots,\lambda_n\}\]
Corollary:
设$A,B$均为$n$阶半正定实对称矩阵,则
(1)$A+B$为正定矩阵的充要条件是存在$n$个线性无关的列向量$\overrightarrow{\alpha}_1,\cdots,\overrightarrow{\alpha}_n$,以及指标集$I\subseteq\{1,2,\cdots,n\}$,使得
\[\overrightarrow{\alpha}_i'A\overrightarrow{\alpha}_j=\overrightarrow{\alpha}_i'B\overrightarrow{\alpha}_j=0(\forall i\neq j),\overrightarrow{\alpha}_i'A\overrightarrow{\alpha}_i>0(\forall i\in I),\overrightarrow{\alpha}_j'B\overrightarrow{\alpha}_j>0(\forall j\in I)\]
(2)$r(A,B)=r(A+B)$
(3)$A+B$是正定矩阵的充要条件是$r(A,B)=n$
Proof:
证明由上述Theorem是显然的.
Reference:高等代数-学习指导书(第三版)(谢启鸿)
原文地址:https://www.cnblogs.com/zhouqimath/p/11373111.html
- POJ 3624 Charm Bracelet(01背包裸题)
- 2015 计蒜之道 初赛(4)爱奇艺的自制节目(枚举 贪心)
- Codeforces 810C Do you want a date?(数学,前缀和)
- [快学Python3]数据结构-堆栈
- [快学Python3]PyMySQL库
- [快学Python3]SMTP发送邮件
- Educational Codeforces Round 21 D.Array Division(二分)
- Playrix Codescapes Cup (Codeforces Round #413, rated, Div. 1 + Div. 2)(A.暴力,B.优先队列,C.dp乱搞)
- [libvirt][nginx]libvirt文档访问速度提高的小技巧
- 图论----同构图(详解)
- 基数排序与桶排序,计数排序【详解】
- SG函数和SG定理【详解】
- 密码学经典之生日悖论与生日攻击【详解】
- POJ 1659 Frogs' Neighborhood(可图性判定—Havel-Hakimi定理)【超详解】
- JavaScript 教程
- JavaScript 编辑工具
- JavaScript 与HTML
- JavaScript 与Java
- JavaScript 数据结构
- JavaScript 基本数据类型
- JavaScript 特殊数据类型
- JavaScript 运算符
- JavaScript typeof 运算符
- JavaScript 表达式
- JavaScript 类型转换
- JavaScript 基本语法
- JavaScript 注释
- Javascript 基本处理流程
- Javascript 选择结构
- Javascript if 语句
- Javascript if 语句的嵌套
- Javascript switch 语句
- Javascript 循环结构
- Javascript 循环结构实例
- Javascript 跳转语句
- Javascript 控制语句总结
- Javascript 函数介绍
- Javascript 函数的定义
- Javascript 函数调用
- Javascript 几种特殊的函数
- JavaScript 内置函数简介
- Javascript eval() 函数
- Javascript isFinite() 函数
- Javascript isNaN() 函数
- parseInt() 与 parseFloat()
- escape() 与 unescape()
- Javascript 字符串介绍
- Javascript length属性
- javascript 字符串函数
- Javascript 日期对象简介
- Javascript 日期对象用途
- Date 对象属性和方法
- Javascript 数组是什么
- Javascript 创建数组
- Javascript 数组赋值与取值
- Javascript 数组属性和方法
- Windows下制作nodejs后台程序的脚本-开机自启动
- Siamese Network & Triplet NetWork
- js常用函数集锦(持续更新)
- 《Java从入门到失业》第五章:继承与多态(5.8-5.10):多态与Object类
- 构建一个适合stm32mp157系列开发板的嵌入式Linux系统
- linux 达梦数据库 命令行 卸载
- Access Control: Database(数据库访问控制)最新解析及完整解决方案
- 启动Apache Atlas时报错
- Apache Atlas 安装部署
- SwiftUI:禁止用户交互
- Qt音视频开发34-Onvif时间设置
- 网络工程师提高篇 | 路由重发布你了解多少?从原理到配置,瑞哥带你学习一波!
- 短视频APP开发,简单计时功能
- LeetCode | 94.二叉树的中序遍历
- Druid 的整合