【纪中模拟2019.08.18】【JZOJ6309】完全背包

题意：

　　有$n$种物品各有无限个，背包空间为$m$，第$i$种物品的体积为$a_i$，价值为$b_i$。求在不超过背包容量的前提下，取得的最大价值。

　　$n\le 10^6,\quad m\le 10^{16},\quad a_i,b_i\le 100$且均为正整数。

分析：

　　贪心一：实际上最多有$100\times 100=10^4$种物品，可以考虑去重，这样$n$的规模下降至$10^4$。

　　贪心二：如果两种物品的体积相同，我们肯定不会装价值更低的那种物品，这样$n$的规模下降至$100$。

　　转化法：由于$m$过于巨大，然而$a_i$相比较小，我们可以想到，性价比最优的物品一定会出现极多次，这样最终方案肯定可以分割成很多完全相同的小方案（全部装同一种物品），再在剩下的容量里精打细算。因此我们先做小容量（最大可支持的范围）的背包，再来组成最终方案。

　　综上，我们先做$n\le 100$，$m\le 2\times 10^5$的完全背包，设$f_i$表示背包容量为$i(1\le i \le 2\times 10^5)$时能取得的最大价值，则有$$f_m=\mathop{max}\limits_{i=1}^{2\times 10^5}\{\lfloor m/i \rfloor \times f_i + f_{m\%i}\}$$

实现（100分）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define IL inline
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=100;
const int M=2e4;

    int n;
    LL m,w[103];
    LL f[M+3];

int main(){
    freopen("backpack.in","r",stdin);
    freopen("backpack.out","w",stdout);

    scanf("%d%lld",&n,&m);
    memset(w,0,sizeof w);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        LL x,y;
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        w[x]=max(w[x],y);
        
    }
    
    memset(f,0,sizeof f);
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=i;j<=M;j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-i]+w[i]);
    
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=M;i++)
        ans=max(ans,m/i*f[i]+f[m%i]);
    
    printf("%lld",ans);

    return 0;

}

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小结：

　　数据规模不同，造就不同题目。应学会灵活处理。

原文地址：https://www.cnblogs.com/Hansue/p/11374000.html