背包问题

时间:2019-08-23
本文章向大家介绍背包问题,主要包括背包问题使用实例、应用技巧、基本知识点总结和需要注意事项,具有一定的参考价值,需要的朋友可以参考一下。

简介

背包问题是一类动态规划问题的统称,分有多种子类型。


01背包

给定\(n\)个物品,每个物品都有自己的价值\(v_i\)和重量\(w_i\)。现有一个容量为\(W\)的背包,求最大价值。

很容易想到每种物品只有选或者不选,那么依次枚举即可。

考虑到还需要判断能否装下这些物品,所以还需要在转移的时候维护剩余容量。

因此设子状态\(f[i][j]\)为当前在第\(i\)个物品处,包括\(i\)在内已经选了重量为\(j\)的物品的最大价值。

状态转移方程为\(f[i][j]=max(f[i-1][j-v_i]+w[i],f[i-1][j])\)

此时的空间复杂度为\(O(NM)\),可以通过滚动数组优化到\(O(M)\)

事实上,还可以进行进一步优化:

由于每一层\(i\)之间是互相独立的(也就是说\(f[i][j]\)不会被\(f[i][k]\)更新),所以我们可以优化掉第一维,但是此时需要修改第二维的枚举顺序。

根据状态转移方程可知,第二维大的状态是由第二维小的状态转移来的,由于我们优化掉了第一维,所以必须先遍历第二维大的状态,否则将会出现覆盖的情况。

所以第一维遍历仍然顺序,第二维遍历须改为逆序。


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