抽象代数基础 - 码农教程

抽象代数基础扫盲

发现自己真的是对代数一无所知啊qwq。

本文没有什么实际性的内容，都是一些基本定义

代数的发展历程

算术(arithmetic)

算术是数学中最古老的部分，算术的最大特点是关注具体数字

初等代数(elementary algebra)

初等代数是古老算术的推广和发展，在初等代数中开始用变量代替具体的数字，它的中心是解方程

抽象代数(abstract algebra)

初等代数与抽象代数的界限在于初等代数只考虑实数和复数代数结构

抽象代数、近世代数、现在代数指的都是同一个意思。抽象代数的主要研究对象是代数结构，包括群、环、域、向量空间

代数主要研究的是运算规则。一门代数，其实都是从某种具体的运算体系中抽象出一些基本规则，建立一个公理体系，然后在这基础上进行研究。一个集合再加上一套运算规则，就构成一个代数结构。

线性代数(linear algebra)

初等代数到抽象代数的扩展

抽象代数相对于初等代数进行了许多推广。

数->集合
+- ->二元运算
0/1->单位元

单位元\(e\)可以定义为\(a*e=a, e*a=a\)

其中\(*\)是一种二元运算

比如：矩阵的加法单位元是零矩阵, 矩阵的乘法单位元是单位矩阵(对角线为1)。正整数集合没有加法单位元

负数->逆元

(这里是我自己的理解)

我所理解的逆元即：若有\(ab = e\)，则\(b\)为\(a\)的逆元。

比如对于加法运算，\(a\)的逆元是\(-a\)。对于乘法运算，\(a\)的逆元是\(\frac{1}{a}\)。对于多项式运算，\(a\)的逆元是满足\(a*b=1\)的多项式\(b\)。

结合律

形式化的来说，对于二元运算\(*\)，若有\((a*b)*c=a*(b*c)\)，那么称该二元运算有结合律。

比较典型是的是整数加法、乘法运算满足结合律。整数减法、除法运算不满足结合律

交换律

形式化的来说，对于二元运算\(*\)，若有\(a*b=b*a\)，那么称该二元运算有交换律律。

比较典型是的是整数加法、乘法运算满足交换律，矩阵乘法不满足交换律。

群

首先要有个代数结构\((R, *)\)。

根据不同的限制条件可以有以下分类

环

环(ring)在交换群的基础上，进一步限制了条件。

域

域(field)相当于是在交换环的基础上，增加了二元运算除法。需要满足每个非零的元素都要有乘法逆元

向量空间

向量空间(vector space)是向量的集合

向量的概念不仅仅限于"几何向量"，凡是满足下列公理化定义的对象都可以被称为向量

给定域\(F\)，\(F\)上的向量空间\(V\)是一个集合，其上定义了两种二元运算

(以下内容抄袭自维基百科)

向量加法\(+\)

\(V*V \rightarrow V\)，把\(V\)中的两个元素\(u\)和\(v\)映射到\(V\)中另一个元素，记做\(u+v\)

标量乘法\(·\)

\(F \times V \rightarrow V\)，把\(F\)中的一个元素\(a\)和\(V\)中的一个元素\(u\)变为\(V\)中的另一个元素，记做\(a·u\)

\(V\)中的元素称为向量，相对地，\(F\)中的元素称为标量。

而集合\(V\)公理才构成一个向量空间(对\(F\)中的一个元素\(a, b\)以及\(V\)中的任意元素\(u, v, w\))都成立

模

模(module)是对向量空间的推广，将标量需为域(向量空间)推广到任意环(模)。

代数

代数(algebra)将algebra over a field中的域推广到交换环。

格

格(lattice)是任意两个元素都有上确界和下确界的偏序集合。

参考资料

代数结构入门：群、环、域、向量空间

向量空间