Python在高等数学中的应用

在学习与科研中，经常会遇到一些数学运算问题，使用计算机完成运算具有速度快和准确性高的优势。Python的Numpy包具有强大的科学运算功能，且具有其他许多主流科学计算语言不具备的免费、开源、轻量级和灵活的特点。本文使用Python语言的NumPy库，解决数学运算问题中的线性方程组问题、积分问题、微分问题及矩阵化简问题，结果准确快捷，具有一定的借鉴意义。

SymPy一个用于符号型数学计算（symbolic mathematics）的Python库。它旨在成为一个功能齐全的计算机代数系统（Computer Algebra System，CAS），同时保持代码简洁、易于理解和扩展。SymPy完全是用Python写的，并不需要外部的库。

首先，我们通过pip安装一下sympy这个计算库吧！

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pip install sympy

可用SymPy进行数学表达式的符号推导和演算。可使用isympy运行程序，isympy在 IPython的基础上添加了数学表达式的直观显示 功能。启动时还会自动运行下面的程序：

这段程序首先将Python的除法操作符“/” 从整数除法改为普通除法。然后从SymPy库载 入所有符号，并且定义了四个通用的数学符号x 、y、z 、t，三个表示整数的符号k、m、n， 以及三个表示数学函数的符号f、g、h。

欧拉恒等式

此公式被称为欧拉恒等式，其中e是自然 常数，i是虚数单位， 是圆周率。此公式被誉 为数学中最奇妙的公式，它将5个基本数学常数 用加法、乘法和幂运算联系起来。 从SymPy库载入的符号中，E表示自然常 数，I表示虚数单位，pi表示圆周率，因此上面 的公式可以直接如下计算：

print(E**(I*pi)+1)

输出结果为:0

SymPy除了可以直接计算公式的值之外， 还可以帮助做数学公式的推导和证明。欧拉恒等 式可以将 代入下面的欧拉公式得到：

在SymPy中可以使用expand()将表达式展 开e^ix，用它展开看（expand()中x是复数）：

print(expand(exp(I*x), complex=True) )

输出：

为了指定x为实数，需要重新定义x

x = Symbol("x", real=True)

print(expand(exp(I*x), complex=True))

输出：

数学表达式

创建一个符号使用symbols()，此函数会 返回一个Symbol对象，用于表示符号变量， 其有name属性，这是符号名，如：

x0=symbols('x0')

其中左边的x是一个符号对象，而右边括 号中用引号包着的x是符号对象的name属性， 两个x不要求一样，但是为了易于理解，通常将 符号对象和name属性显示成一样，另外name 属性是引号包起来的。如要同时配置多个符号 对象，symbols()中多个name属性可以以空格或者逗号分隔，然后用引号包住，如下：

一次配置三个符号，由于符号对象名和 name属性名经常一致，所以可以使用var（） 函数，如：

上面的语句创建了名为x0、y0、x1、y1的4 个Symbol对象，同时还在当前的环境中创建 了 4个同名的变量来分别表示这4个Symbol对象。 因为符号对象在转换为字符串时直接使用它的 name 属性，因此在交互式环境中看到变量,x0的 值就是x0，但是査看变量x0的类型时就可以发现 ，它实际上是一个Symbol对象。

type（x0）

数学公式中的符号一般都有特定的假设，例 如m、n通常是整数，而z经常表示复数。在用 var()、symbols()或Symbol()创建Symbol对 象时，可以通过关键字参数指定所创建符号的假 设条件，这些假设条件会影响到它们所参与的计 算。

例如，下面创建了两个整数符号m和n, 以 及一个正数符号x:

每个符号都有许多is_*属性，用以判断符 号的各种假设条件。

SymPy的表达式实际上是一个由Basic类 的各种对象进行多层嵌套所得到的树状结构。 下面的函数使用递归显示这种树状结构：

除了使用SymPy中预先定义好的具有特殊 运算含义的数学函数之外，还可以使用 Function()创建自定义的数学函数：

f = Function("f")

当我使用f创建一个表达式时，就相当于创 建它的一个实例：

t = f(x,y)

isinstance(t, Function)

t.func

f的实例t可以参与表达式运算：

t+t*t

f(x, y)**2 + f(x, y)

表达式变换和化简

simplify()可以对数学表达式进行化简：

simplify((x+2)**2 - (x+1)**2)

输出：2*x + 3

radsimp()可以对表达式进行分母有理化，它所得到的表达式分母将没有无理数：

radsimp(1/(sqrt(5)+2*sqrt(2)))

输出：(-sqrt(5) + 2*sqrt(2))/3

fraction()获得ratsimp()通分之后的分子或分母（它不能自动对表达式进行通分）：

fraction(ratsimp(1/x+1/y))

输出：(x + y, x*y)

cancel()对分式的分子分母进行约分计算（不能对内部函数的表达式进行约分）：

cancel((x**2-1)/(1+x))

输出：x-1

cancel(sin((x**2-1)/(1+x)))

输出：sin(x**2/(x + 1) - 1/(x + 1))

trigsimp()是用来对三角函数进行化简用的:

trigsimp(sin(x)**2+2*sin(x)*cos(x)+cos(x)**2)

输出：sin(2*x) + 1

expand_trig()展开三角函数表达式：

expand_trig(sin(2*x+y))

输出：(2*cos(x)**2 - 1)*sin(y) + 2*sin(x)*cos(x)*cos(y)

log()展开乘积和幂运算：

x,y=symbols("x,y",positive=True)

expand(log(x*y**2))

输出：log(x) + 2*log(y)

factor()对多项表达式进行因式分解：

factor(15*x**2+2*y-3*x-10*x*y)

输出：(3*x - 2*y)*(5*x - 1)

integrate()可以用来计算积分，它包含定积分和不定积分：

integrate(f,x)：计算不定积分∫ fdx

integrate(f,(x,a,b)):计算定积分∫a/b fdx

当然有时候我们也有多重积分要运算，不要担心，我们还可以用

Integrate(f,x,y)来计算双重积分：∫ ∫ fdxdy

Integrate(f,(x,a,b),(y,c,d))：计算双重定积分（x上下限ab，y上下限cd）

输出：-x*cos(x) + sin(x))

当然，sympy还可以求极限，我们大学学的第一个内容！

语法：limit(function, variable, point)，如果是求趋于0，那就把第三个变量改成0，limit(f,x,0)，如果是求趋于无穷，第三个变量改成oo（字母）limit(sin(x)/x, x, oo)

输出：1

输出：0

其他还有一些求导，矩阵的算法，平面几何算法，详细见一下sympy文档，这里因为时间问题，我们就不再去介绍了，有问题的可以私聊小编！