程序设计之如何计算多边形的面积

思路：

其实方法很简单，定积分。我还是简单解释一下，如果是没有读过高等数学的朋友，也让你大致明白。

定积分的本质是求和，计算f(x)在积分区间[a,b]上的一个和Ｓ，首先把积分区间分成n份，这样的分法记为λ，记Δ(λ)=max{Δx|[xi -1,xi]}，也就是所有这些分成的小段中长度最大的一段的长，如果当Δ→０的时候，和式Ｓ＝∑f(θ)Δx (θ∈[xi-1,xi])的极限如果存在的话，就称其为f(x)在[a,b]上的定积分，记为
b
∫f(x)dx
a
其意义从几何上解释，就是f(x)的曲线与x轴、直线x=a,x=b围成的图形的面积。
现在要求的多边形是由线段组成的，只要把所有的线段都求定积分，最后把和加起来，就是多边形的面积。这个推论的证明从略。值得注意的是，用定积分求的面积有正负之分，即：
b         a
∫f(x)dx=-∫f(x)dx
a         b
从a积到b，与从b积到a只相差一个负号。

线段定积分的计算公式的推导

给出两个点，如何求这两点连成的线段的定积分值呢？
直线的方程可以用y=kx+b表示，所以围成的面积
S=
x2
∫(kx+b)dx
x1
=k/2(x2^2-x1^2)+b(x2-x1)

而斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)
截距b=y1-kx1=y1-x1(y2-y1)/(x2-x1)，代入前式得
S=(y2-y1)(x2+x1)/2+y1(x2-x1)-x1(y2-y1)
=(x2-x1)(y1+y2)/2
这让我想到一个初等公式，梯形面积公式，y1,y2看成上下底，(x2-x1)看成是高，上底加下底乘高除二，对直线定积分得到的正是这个梯形的面积。这样走了一个大弯又回到初中了。

实例：

设Ω是m边形(如下图)，顶点沿边界正向排列，，坐标依次为

建立Ω的多边形区域向量图。

由图知坐标原点与多边形任意相邻的两个顶点构成一个三角形，而三角形的面积可由三个顶点构成的两个平面向量的外积求得。

任意多边形的面积公式

多边形计算公式的计算和原点的选取没有关系，通常可以选点（0,0）或者多边形的第一个点（这个时候比较直观了，看起来就是把多边形分成一个个三角形和加起来，读者自己可以画个图）就可以了。

//任意多边形的面积计算  
  
#include <iostream>  
#include <utility>  
#include <cmath>  
using std::cout;  
using std::cin;  
using std::endl;  
  
typedef std::pair<double ,double> point;  
  
#pragma warning(disable:4244)  
  
double det(point p0,point p1,point p2)  
{  
    return (p1.first-p0.first)*(p2.second-p0.second)-(p1.second-p0.second)*(p2.first-p0.first);  
}  
  
double ploygon_area(int n,point p[])    
{  
    double s=0.0f;  
    int i=1;  
    for(;i < n-1;i++)  
        s += det(p[0],p[i],p[i+1]);  
    return 0.5*fabs(s);  
}  
  
int main(int argc, char *argv[])  
{  
  
    int i,n;  
    double s;  
    point *points = NULL;  
  
    cout<<"Enter the number of edges of the polygon <n>:";  
    cin>>n;  
    if(n < 2){  
        exit(1);  
    }  
  
    points = (point *)malloc(n*sizeof(point));  
  
    for(i=0; i<n; i++){  
        cout<<endl<<"points["<<i<<"]=";  
        cin>>points[i].first>>points[i].second;  
    }  
  
    s=ploygon_area(n, points);  
    cout<<"The area is:"<<s<<std::endl;  
  
    if(points)  
        free(points);  
  
    return 1;  
}